Pregunta: Ejercicio 4. Considere una economía conN diferentes tipos de trabajo, denotados por{1,cdots,N} . Puedes pensar que el(n+1) La mano de obra de tipo th es más calificada en comparación con lan mano de obra tipo th. Dejarl=(l1,cdots,lN)inR++N En esta economía se ofrece mano de obra de distintos tipos. Es decir, para cadan , hayln>0 den -Tipo de mano de

Ejercicio $4.$ Considere una econom$í$a conN diferentes tipos de trabajo, denotados por$\{1,$cdots,$N\}.$ Puedes pensar que el$(n+1)$ La mano de obra de tipo th es m$á$s calificada en comparaci$ó$n con lan mano de obra tipo th$.$ Dejarl$=(l_1,$cdots,$l_N)in{R}_{++}^N$ En esta econom$í$a se ofrece mano de obra de distintos tipos. Es decir, para cadan $,$ hay$l_n>0$ den $-$Tipo de mano de obra ofrecida. Hay un conjunto de tecnolog$í$as$.\Theta subR$ entre los que la sociedad puede elegir. La funci$ó$n de producci$ó$n agregada est$á$ dada porf$(l,\theta )$:$R_{++}^N\times \Theta \to R_{++}.$ Supuesto $1($Regularidad$).($i$)\Theta$ no est$á$ vac$í$o y es compacto y$f$ es continuo. $($ii$)$ Para cada$\theta ,f$ es continuamente diferenciable enl con$f_n>0$ para cadan$=1,$cdots,$N,$ en el cual$f_n\triangleq \frac{\text{d}\text{e}\text{l}\text{f}}{del{l}_n}.($iii$)$ Para cada$\theta$ y cada posible curva de indiferencia def enl en$R_{++}^N,$ decir,$ID(\theta ,q)\triangleq \{lin{R}_{++}^N|f(l,\theta )=q\},$ y cada dos puntos diferentesl y$l^{\text{'}}$ enID$(\theta ,q),$ podemos encontrar un camino suave$\frac{?}{\text{b}\text{a}\text{r}}(l)(z)$:$[0,1]\to R_{++}^N$ del a$l^{\text{'}}$ enID$(\theta ,q{)}^8$ tal que para cadan,$d\frac{\frac{?}{\text{b}\text{a}\text{r}}(l{)}_n(z)}{d}z\ge 0$ si$l_n^{\text{'}}\ge l_n$ y$d\frac{\frac{?}{\text{b}\text{a}\text{r}}(l{)}_n(z)}{d}z\le 0$ si$l_n^{\text{'}}\le l_n.AAlin{R}_{++}^N$ y$\alpha >0,$ dejar$\alpha l=(\alpha l_1,$cdots,$\alpha l_N).$ Tambi$é$n asumimos lo siguiente: Supuesto $2.AAlin{R}_{++}^N$ y$\theta in\Theta ,\underset{\alpha \to 0}{lim}f(\alpha l,\theta )=0$ y$\underset{\alpha \to +\infty }{lim}f(\alpha l,\theta )=+\infty .$ Adem$á$s$,$ imponemos el siguiente supuesto de "sin efecto de escala" a$f,$ seg$ú$n el cual si aumentamos o reducimos uniformemente la mano de obra ofrecida, no afecta nuestra evaluaci$ó$n de las tecnolog$í$as: Supuesto $3($Sin efecto de escala$).AAlin{R}_{++}^N,\alpha >0,$ y$\theta \ne {\theta }^{\text{'}}$ en$\Theta ,$ sif$(\alpha l,\theta )\ge f(\alpha l,{\theta }^{\text{'}}),$ entoncesf$(l,\theta )\ge f(l,{\theta }^{\text{'}}).$ Adem$á$s$,$ hacemos la siguiente suposici$ó$n sobre$\Theta .$ Supuesto $4($Orden Total$).$ Para cada${\theta }^{\text{'}}>\theta ,$ se cumple la siguiente condici$ó$n:$n(w_n)w_n=f_n(l,\theta )l\theta {\theta }^{\text{'}}>\theta {\theta }^{\text{'}}\theta {\Theta }^{*}(l)\triangleq argma{x}_{\theta in\Theta }f(l,\theta ).l{l}^{\text{'}}{R}_{++}^N{l}^{\text{'}}l{l}^{\text{'}}\ge {?}_{MR}l\frac{l_n^{\text{'}}}{l_n}n{l}^{\text{'}}\ge {?}_{MR}l{\Theta }^{*}(l^{\text{'}})\ge {?}_S{\Theta }^{*}(l)f_n\frac{l,{\theta }^{\text{'}}}{f_k}(l,{\theta }^{\text{'}})\ge f_n\frac{l,\theta }{f_k}(l,\theta ),AAlin{R}_{++}^N,1\le kIn$ competitive equilibrium, the wage $of$ each $n-$type labor $(w_n)is$ given $by$ its marginal productivity, that $is,w_n=f_n(l,\theta ),$ which relies $on$ labor supplied $l$ and the technology $\theta adoptedby$ the society. Under Assumption $4$ and given ${\theta }^{\text{'}}>\theta ,$ for each possible labor supplied, $in$ equilibrium, high$-$skilled labour gets rewarded relatively more under technology ${\theta }^{\text{'}}$ compared with the case under technology $\theta .$ The society chooses optimal technology, which depends $on$ labor supplied $in$ the economy: ${\Theta }^{*}(l)\triangleq argma{x}_{\theta in\Theta }f(l,\theta ).$ For two possible labor supplied $l$ and $l^{\text{'}}in{R}_{++}^N,$ say that $l^{\text{'}}is$ larger than $linMR$ order, denoted $by{l}^{\text{'}}\ge {?}_{MR}l,if\frac{l_n^{\text{'}}}{l_n}$ increases $inn.$ Let $l^{\text{'}}\ge {?}_{MR}l.$ Under Assumption $1,2,3,$ and $4,$ show ${\Theta }^{*}(l^{\text{'}})\ge {?}_S{\Theta }^{*}(l)$ and interpret the $re$