Pregunta: Ejercicio 2. Se lanzan 1000 monedas con la siguiente distribución: P(X( sol )=1)=0.3,P(X (aˊguila )=0)=0.7. Sea Y la variable aleatoria que representa el número de soles que se obtienen en los 1000 lanzamientos. Lsando el TCL, estima las siguientes probabilidades: (1) P(Y>50). (2) P(100400). Ejercicio 3. In banco de inversión está administrando mil millones

Ejercicio 2. Se lanzan 1000 monedas con la siguiente distribución: $\mathbb{P}(X(\text{ sol })=1)=0.3,\mathbb{P}(X\text{ (aˊguila })=0)=0.7\text{. }$ Sea $Y$ la variable aleatoria que representa el número de soles que se obtienen en los 1000 lanzamientos. Lsando el TCL, estima las siguientes probabilidades: (1) $P(Y>50)$. (2) $\mathrm{P}(100<Y<300)$. (3) $P(Y>400)$. Ejercicio 3. In banco de inversión está administrando mil millones de dólares, que invierte en varios instrumentos financieros ("activos") relacionados con el mercado de la vivienda (por ejemplo, los "valores respaldados por hipotecas"). Debido a que el banco está invirtiendo con dinero prestado, sus activos reales son solo 50 millones (5\%). En consecuencia, si el banco pierde más del 5\%, se vuelve insolvente (lo que significa que tendrá que ser rescatado, y los banqueros pueden tener que renunciar a grandes bonos durante unos meses). (a) El banco considera invertir en un solo activo, cuya ganancia (durante un período de 1 año y medida en puntos porcentuales) se modela como una variable aleatoria normal $R_{\text{a }}$ con media 7 y desviación estándar 10. (Es decir, se espera que el activo produzca una ganancia del $7\%$.) ¿Cuál es la probabilidad de que el banco se vuelva insolvente? ¿Aceptaría usted este nivel de riesgo? (b) Para salvaguardar su posición, el banco decide diversificar sus inversiones, considera invertir 50 millones en cada uno de veinte activos diferentes, teniendo el i-ésimo una ganancia $R_i$, que nuevamente es normal con media 7 y desviación estándar 10 La ganancia del banco será $\left(R_1+\cdots +R_{20}\right)/20$. Estos veinte activos se eligen para reflejar los sectores inmobiliarios en diferentes estados o incluso países, y los científicos del banco eligen modelar cada $R_i$ como variables aleatorias independientes. Según este modelo, ¿cuál es la probabilidad de que el banco sea insolvente? (c) Con base en los cálculos del inciso (b), el banco continúa con la estrategia de inversión diversificada Resulta que un fenómeno económico global puede afectar los sectores de la vivienda en diferentes estados y países simultáneamente y: por lo tanto, las ganancias $R_i$ están en hecho correlacionado positivamente. Suponga que para cada $i$ y $j$ donde $i\ne j$, el coeficiente de correlación $\rho \left(R_i,R_j\right)$ es igual a $1/2$. ¿Cuál es la probabilidad de que el banco sea insolvente? Ejercicio 4. (Un intervalo de confianza para varaibles aleatorias Bernoulli) Sean $X_1,\dots ,X_n$ variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas Bernoulli con parámetro desconocido $p\in (0,1)$ y denótese por ${\bar{X}}_n$ a su promedio empírico: ${\bar{X}}_n=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i.$ (1) Verifica, usando el TCL, que $\sqrt{n}\frac{{\bar{X}}_n-p}{\sqrt{\rho (1-p)}}$ converge en distribución a una variable aleatoria normal estándar $Z$. (2) Verifica que la normal estándar es simétrica. Esto es, para toda $t>0$, $\mathbb{P}(|Z|\le t)=2\mathbb{P}(Z\le t)-1.$ (3) Para $t>0$, sea $I_t=\left[{\bar{X}}_n-\frac{t\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}},{\bar{X}}_n+\frac{t\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]$