Pregunta: Ejercicio 1. Determine si el enunciado de cada inciso es verdadero o falso. Si es verdadero, debe escribir alguna breve justificación o demostración. Si es falso, debe presentar un ejemplo concreto para el cual el enunciado no se cumple. (a) SiAx=0, entonces x=0. (b) W={(x,y)∈R2:y=x+1} es subespacio de R2. (c) El conjunto de matrices invertibles 2×2 es

Ejercicio 1. Determine si el enunciado de cada inciso es verdadero o falso. Si es verdadero, debe escribir alguna breve justificación o demostración. Si es falso, debe presentar un ejemplo concreto para el cual el enunciado no se cumple. (a) $\mathrm{Si}A\mathrm{x}=0$, entonces $\mathrm{x}=0$. (b) $W=\left\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:y=x+1\right\}$ es subespacio de ${\mathbb{R}}^2$. (c) El conjunto de matrices invertibles $2\times 2$ es espacio vectorial con respecto a la multiplicación escalar y suma matricial estándar. (d) La unión de subespacios es también un subespacio. (e) La intersección de subespacios es también un subespacio. (f) Si la forma escalonada de una matriz $4\times 3$ tiene 2 pivotes, entonces el rango de $A$ es $\rho (A)=2$. (g) $\mathrm{Si}$ a una base de un espacio vectorial se le elimina un vector, el conjunto resultante es linealmente independiente. (h) El conjunto $\left\{1,1+x,1+x+x^2\right\}$ es una base para $P_2$. (i) Existen matrices $3\times 4$ tales que su espacio nulo es solamente $\{0\}$. (j) Un conjunto de dos matrices $n\times n$ es linealmente dependiente si y solo si una es múltiplo escalar de la otra. (k) Si en un espacio vectorial $V$ existen $n$ vectores linealmente independientes (no necesariamente base), entonces los conjuntos generadores de $V$ deben tener $n$ o mís vectores. (1) Considere la base ordenada ${\mathcal{B}}_1=\left\{(1,-1{)}^T,(-1,2{)}^T\right\}$ de ${\mathbb{R}}^2$. $Y$ sea $x=(6,-8{)}^T$. Entonces, $(\mathbf{x}{)}_{B_1}=\left(\begin{array}{c}4\\ -2\end{array}\right)$ (m) El espacio fila de una matriz es igual a la imagen de la matriz. (n) Si $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}$ entonces el espacio columna de $A$ es subespacio de ${\mathbb{R}}^n$.