Pregunta: Ecuaciones diferenciales no autónomas de la formay'(t)-f(t)-by(t) se puede resolver usando el cambio de variablesx(t)-esy(t) . Esto está estrechamente relacionado con una técnica para resolver ecuaciones diferenciales llamada "factores integradores". Utilice la solución que obtuvo en el Problema 2, junto con la ecuación para la dinámica dec en las

Ecuaciones diferenciales no aut$ó$nomas de la forma$y^{\text{'}}(t)-f(t)-by(t)$ se puede resolver usando el cambio de variablesx$(t)-e^{s}y(t).$ Esto est$á$ estrechamente relacionado con una t$é$cnica para resolver ecuaciones diferenciales llamada "factores integradores". Utilice la soluci$ó$n que obtuvo en el Problema $2,$ junto con la ecuaci$ó$n para la din$á$mica dec en las Ecuaciones $1,$ para escribir una $ú$nica ecuaci$ó$n diferencial no aut$ó$noma para la din$á$mica dec $.$ Supongamos que la concentraci$ó$n inicial de urea en la sangre tambi$é$n es$c_0.$ Resuelva el problema del valor inicial de la concentraci$ó$n de urea en la sangre en funci$ó$n del tiempo durante la di$á$lisis utilizando el cambio de variables descrito en el margen. Grafique la concentraci$ó$n en el tiempo, suponiendo que$c_0=80,a=0\mathrm{.}015,$ y$\frac{K}{V}=0\mathrm{.}03.$ Supongamos que el tratamiento de di$á$lisis finaliza despu$é$s de $110$ minutos. si usamos$c^{**}(t)$ y$p^{**}(t)$ para denotar la concentraci$ó$n de urea en la sangre y en la piscina inaccesible,$t$ unidades de tiempo despu$é$s de que se ha detenido el tratamiento, $¿$cu$á$l es el problema de valor inicial para$c^{**}(t)$ y$p^{**}(t)?$ Resuelva el problema del valor inicial en el Problema $5.$ Trace la soluci$ó$n junto con la del Problema $4$ en el mismo gr$á$fico$,$ usando los valores constantes del Problema $4.¿$Cu$á$l es el valor l$í$mite de la concentraci$ó$n de urea en la sangre despu$é$s de que haya rebotado por completo? Explique biol$ó$gicamente por qu$é$ ocurre este valor l$í$mite$.$ Si hubiera un flujo de urea desde el torrente sangu$í$neo hacia el estanque inaccesible, $¿$c$ó$mo cree que esto complicar$í$a el an$á$lisis del modelo? Un paciente se somete a un tratamiento de di$á$lisis para eliminar la urea del torrente sangu$í$neo cuando los ri$ñ$ones no funcionan correctamente. La sangre se desv$í$a del paciente a trav$é$s de una m$á$quina que filtra la urea. En muchos pacientes, una vez finalizada una sesi$ó$n de di$á$lisis$,$ se produce un rebote relativamente r$á$pido en la concentraci$ó$n de urea en la sangre, demasiado r$á$pido para explicarlo por la producci$ó$n de nueva urea $($ver Figura $1).$ Una explicaci$ó$n para este rebote es que la urea tambi$é$n existe en otras partes del cuerpo y hay un movimiento continuo de urea desde estas otras $á$reas hacia el torrente sangu$í$neo$.$ Modelar este movimiento da como resultado el llamado modelo de "dos compartimentos", como se muestra en la Figura $2.$ En el ejercicio $7\mathrm{.}4\mathrm{.}46$ vimos que un modelo com$ú$n de un compartimento para di$á$lisis es$\frac{dc}{dt}=-\frac{K}{V}c$ d$ó$nde$K$ y$V$ son constantes positivas y$c$ es la concentraci$ó$n de urea en la sangre $($en$m\frac{g}{m}L).$ Para construir un modelo de dos compartimentos necesitamos describir la din$á$mica usando dos variables,$c$ para la concentraci$ó$n en sangre y$p$ para la concentraci$ó$n en la piscina inaccesible $($ambas medidas enm$\frac{g}{m}L).$ Un modelo para este proceso es$\frac{dc}{dt}=-\frac{K}{V}c+ap,\frac{dp}{dt}=-ap$ d$ó$nde$K,V,$ y$a$ son constantes positivas. Explique los t$é$rminos de la Ecuaci$ó$n $1$ y los supuestos que los sustentan. La din$á$mica dec Depende tanto de la concentraci$ó$n en sangrec y en la piscina inaccesiblep $.$ Sin embargo, la din$á$mica dep depender s$ó$lo dep y entonces podemos resolver la ecuaci$ó$n diferencial parap independientemente de la ecuaci$ó$n diferencial para c$.¿$Cu$á$l es esta soluci$ó$n$,$ suponiendo que la concentraci$ó$n inicial de urea en la piscina es$c_0?$ 

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