Pregunta: i dont get it with the solution. the book is ruel V. churchill- fourier series and boundary value problems (1963)

8. En la Seo. 34, utilizar la función $Z$ definida por la Ec. (6) para probar que $X$ e $Y$ son linealrnente dependientes, en el caso $a_1=0$. 9. Indicar los pason que conducen a las Eos. (7), See. 34. 10. Dbestese en el problema de autovalores (6) de la Ses. 34 que si $\alpha$ (radienes) es un éngulo congtante tal que aen $\alpha \ne 0$, las dos funcionos linealmente independientes sen $nxy$ sen $(nx+\alpha )$ son dos autofuncionec correspondienteas al miemo autovalor $\lambda =n^2(n=1,2,\dots )$. Démontrar que su combineción lineal cos $(nx+\alpha )$ es ortogonal a sen $(nx+\alpha$ ) (ver Prob, 4, Sec. 26), y por tanto quo las funciones sen $(x+\alpha )$, sen $(2x+\alpha ),\dots 1,\cos (x+\alpha )$, cos $\{2x+\alpha ),\dots$ constituyen un sistexns ortogona de autofunciones en el interva. 10 $(-\pi ,\pi )$. 11. Para el probleme de autovalorea $X^{\prime \prime }+\lambda X=0;X(0)=X(2c),X^{\prime }(0)=X^{\prime }(2\theta )$ obtener el aiguiente gigteme ortogonal do autofuncionen en el intervalo (0, 20): $\left\{\mathrm{sen}\frac{m\pi x}{c}=1,\cos \frac{n\pi x}{0}\right\}(m,n=1,2,\dots )$ Teorema 5. Bajo la condicion adicional de que bien sea $r(a)>0$, $6r(b)>0$, el problema de Sturm-Liouville (1) y (2), Sec. 33, no puede tener dos autofunciones linealmente independientes que corresponien a mismo autovalor; ademds, cada autofuncidn puede hacerse con valores reales multiplicdndola por una constante apropiada diferente de cero. www.FreeLibros.com 82 SERIZS DE FOURIRR $Y$ PRORLEMAS DE CONTORNO [SEO. 34 Que este teorema no siempre es de aplicación cuando las condiciones (2), Sec. 33 , son remplazadss por las condiciones de contorno periódicas, queda demostrado por este importante caso especial. (6) $X^{\prime \prime }+\lambda X=0,X(-\pi )=X(\pi ),X^{\prime }(-\pi )=X^{\prime }(\pi )$. cuando $\lambda \ne 0$, la soluoión de esa ecuación diferencial ea $X(x)=C_1\mathrm{sen}x\sqrt{\lambda }+C_2\cos x\sqrt{\lambda }.$ Si esta solución ha de satisfacer las dos condiciones de contorno ha de verificarse que (7) $C_1\mathrm{sen}\pi \sqrt{\lambda }=0$ y $C_2$ sen $\pi \sqrt{\lambda }=0$. No pudiendo $C_1$ y $C_2$ eer simultáneamente nulas si $X$ hs de ser una sutofunción, remulta que $\lambda =n^2(n=1,2\dots )$ mientras que las cons tantea $C_1$ y $C_2$ son arbitrarias. En partionlar, pars cuslquier constante $B_n$, las dos funciones (8) $X_n(x)=\mathrm{sen}nx,Y_n(x)=B_n\mathrm{sen}nx+\cos nx$ 8. En la Seo. 34, utilizar la función $Z$ definida por la Ec. (6) para probar que $X$ e $Y$ son linealrnente dependientes, en el caso $a_1=0$. 9. Indicar los pason que conducen a las Eos. (7), See. 34. 10. Dbestese en el problema de autovalores (6) de la Ses. 34 que si $\alpha$ (radienes) es un éngulo congtante tal que aen $\alpha \ne 0$, las dos funcionos linealmente independientes sen $nxy$ sen $(nx+\alpha )$ son dos autofuncionec correspondienteas al miemo autovalor $\lambda =n^2(n=1,2,\dots )$. Démontrar que su combineción lineal cos $(nx+\alpha )$ es ortogonal a sen $(nx+\alpha$ ) (ver Prob, 4, Sec. 26), y por tanto quo las funciones sen $(x+\alpha )$, sen $(2x+\alpha ),\dots 1,\cos (x+\alpha )$, cos $\{2x+\alpha ),\dots$ constituyen un sistexns ortogona de autofunciones en el interva. 10 $(-\pi ,\pi )$. 11. Para el probleme de autovalorea $X^{\prime \prime }+\lambda X=0;X(0)=X(2c),X^{\prime }(0)=X^{\prime }(2\theta )$ obtener el aiguiente gigteme ortogonal do autofuncionen en el intervalo (0, 20): $\left\{\mathrm{sen}\frac{m\pi x}{c}=1,\cos \frac{n\pi x}{0}\right\}(m,n=1,2,\dots )$