Pregunta: Distancia entre dos lineas sesgadas Calcular la distancia de un punto a una linea o de una linea a un plano parece un procedimionto bastante abstracto. Pero, si las lineas representan tuberias en una planta quimica o tubos en una refineria de petróleo o carreteras en una intersección de autopistas, confirmar que la distancia entre ellas cumple las

Distancia entre dos lineas sesgadas Calcular la distancia de un punto a una linea o de una linea a un plano parece un procedimionto bastante abstracto. Pero, si las lineas representan tuberias en una planta quimica o tubos en una refineria de petróleo o carreteras en una intersección de autopistas, confirmar que la distancia entre ellas cumple las especificaciones puede ser tan importante como incómodo de medir. Una forma es modelar las dos tuberias como lineas, utilizando las técnicas de este capituio, y luego calcular la distancia entre ellas, E cálculo consiste en formar vectores a lo largo de las direcciones de las lineas y utilzar tanto el producto vectorial como of producto escalar: Las formas simétricas de dos lineas, $L_1$ y $L_2$, son Debe desarrollar una fórmula para la distancia $d$ entre estas dos lineas, en términos de los valores $a_1,b_1,c_1;a_2,b_2,c_2;x_1,y_1,z_1;\mathrm{y}{x}_2,y_2,z_2$. La distancia entre dos lineas suele entenderse como la distancia minima, por lo que se trata de la longitud de un segmento de linea o de la longitud de un vector que es perpendicular a ambas lineas $y$ las interseca. 1. Primero, escriba dos vectores, ${\mathbf{v}}_1$ y ${\mathbf{v}}_2$, que se encuentran a lo largo de $L_1$ y $L_2$, respectivamente. 2. Calcule el producto vectorial de estos dos vectores $y$ llámelo $N$. Este vector es perpendicular a ${\mathbf{v}}_1$ y ${\mathbf{v}}_2$, y por lo tanto es perpendicular a ambas líneas. 3. A partir del vector $\mathbf{N}$, forme un vector unitario $n$ en la misma dirección. 4. Utilice las ecuaciones simétricas para hallar un vector conveniente ${\mathbf{v}}_{12}$ que se encuentre entre dos puntos cualquiera, uno en cada linea. De nuevo, esto puede hacerse directamente a partir de las ecuaciones simétricas. 5. El producto escalar de dos vectores es la magnitud de la proyección de un vector sobre el otro, es decir, $\mathbf{A}.\mathbf{B}=\Vert \mathbf{A}\Vert \Vert \mathbf{B}\Vert \cos \theta$, donde $\theta$ es el ángulo entre los vectores. Utilizando el producto escalar, calcule la proyección del vector ${\mathbf{v}}_{12}$ encontrado en el paso 4 sobre el vector unitario $n$ encontrado en el paso 3. Esta proyección es perpendicular a ambas líneas, por lo que su longitud debe ser la distancia perpendicular $d$ entre ellos. Tenga en cuenta que el valor de $d$ puede ser negativo, dependiendo de su elección de vector ${\mathbf{v}}_{12}$ o el orden del producto vectonal, por lo que hay que utilizar signos de valor absoluto alrededor del numerador, 6. Compruebe que su fórmula da la distancia correcta de $|-25|/\sqrt{198}\approx 1,78$ entre las dos lineas siguientes: $\begin{array}{l}{L}_1:\frac{x-5}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-1}{3}\\ L_2:\frac{z-6}{3}=\frac{y-1}{5}=\frac{z}{7}.\end{array}$ 7. ¿Es válida su expresión general cuando las lineas son paralelas? Si no, ¿por qué no? (Pista: ¿Qué sabe del valor del producto vectorial de dos vectores paralelos? ¿Dónde apareceria ese resultado en su expresión para d?) 8. Demuestre que su expresión para la distancia es cero cuando las lineas se intersecan. Recordemos que dos tineas se intersecan si no son paralelas y están en el mismo plano. Por lo tanto, considere ia dirección de $\mathbf{n}$ y ${\mathbf{v}}_{12}$. ¿Cuál es el resultado de su producto escalar? 9. Considere la siguiente aplicación. Los ingenieros de una refineria han determinado que necesitan instalar puntales de apoyo entre muchas de las tuberias de gas para reducir las vibraciones perjudiciales. Para minimizar el costo, planean instalar estos puntales en los puntos más cercanos entre las tuberias sesgadas adyacentes. Al disponer de esquemas detallados de la estructura. pueden determinar las longitudes correctas de los puntales necesarios $y$, por tanto, fabricarios y distribuirios a los equipos de instalación sin perder un tiempo valioso haciendo mediciones. La estructura de marco rectangular tiene las dimensiones $4,0\times 15,0\times 10,0$ mit (altura, anchoy profundidad). Un sector tiene una tuberia que entra en la esquina inferior de la unidad de marco estándary sale en la esquina diametralmente opuesta (la más alejada en la parte superior); llímese $L_1$. Una segunda tuberia entra y sale en las dos esquinas inferiores opuestas diferentes; llämese $L_2$ (Elavira? 274). Figura 274 Dos tubos se intersecan a travis de una unidad de marco estíndar. Escriba los vectores a lo largo de las líneas que representan esas tuberias, calcule el producto vectorial entre elios a partir del cual se crea el vector unitario $\mathbf{n}$, defina un vector que abarque dos puntos de cada linea, y finaimente determine la distancia mínima entre las líneas (se toma como origen la esquina inferior de la primera tubería). Del mismo modo, también puede desarrollar las ecuaciones simétricas para cada linea y sustituirlas directamente en su fórmula.