Pregunta: Determine qué está mal con la siguiente "prueba" por inducción de que todos los perros son de la misma raza. Teorema 1. Todos los perros son de la misma raza. Prueba. Para cada número natural, sea P(n) el enunciado “cualquier conjunto de n perros consiste enteramente en perros de la misma raza”. Demostramos que para cada número natural n, P(n) es verdadero.

Determine qué está mal con la siguiente "prueba" por inducción de que todos los perros son de la misma raza. Teorema 1. Todos los perros son de la misma raza. Prueba. Para cada número natural, sea P(n) el enunciado “cualquier conjunto de n perros consiste enteramente en perros de la misma raza”. Demostramos que para cada número natural n, P(n) es verdadero. P(1) es verdadero, porque un conjunto con un solo perro consiste en su totalidad en perros de la misma raza. Ahora, sea k cualquier número natural arbitrario fijo y supongamos que P(k) es verdadero, es decir, cada conjunto de k perros consta de perros de la misma raza. Sea D un conjunto de k + 1 perros, donde D = {d1, d2, . . . , dk, dk+1} y cada di es un perro. Si el perro d1 se elimina de D, entonces tenemos un conjunto D1 de k perros. Por la hipótesis inductiva, los perros en D1 tienen la misma raza. Ahora, si el perro dk+1 se elimina de D, entonces tenemos D2 de k perros. De nuevo por la hipótesis inductiva, los perros en D2 tienen la misma raza. Debido a que D1 y D2 se superponen, todos los k + 1 perros deben ser de la misma raza. Esto muestra que P(k + 1) es verdadero. Por lo tanto, por inducción matemática, para todos los números naturales n, cualquier conjunto de n perros consiste enteramente en perros de la misma raza.