Pregunta: (a) Demuestre que si X ∼ Geom(p) entonces P(X = n + k|X > n) = P(X = k), para todo n, k ≥ 1. Esta es una de las formas de definir la propiedad sin memoria de la distribución geométrica. Establece lo siguiente: dado que no hay éxitos en los primeros n intentos, la probabilidad de que el primer éxito llegue en el intento n + k es la misma que la probabilidad

(a) Demuestre que si X ∼ Geom(p) entonces P(X = n + k|X > n) = P(X = k), para todo n, k ≥ 1. Esta es una de las formas de definir la propiedad sin memoria de la distribución geométrica. Establece lo siguiente: dado que no hay éxitos en los primeros n intentos, la probabilidad de que el primer éxito llegue en el intento n + k es la misma que la probabilidad de que una secuencia de intentos recién iniciada produzca el primer éxito en el intento k. (b) (Crédito extra) Muestre que si X es cualquier variable aleatoria con rango N = {1, 2, 3, ...} que satisface 0 < P(X = 1) < 1, y la propiedad sin memoria en (a), entonces X debe ser una variable aleatoria geométrica para algún valor de parámetro p ∈ (0, 1). En otras palabras, la distribución geométrica es la única distribución discreta de los enteros positivos con la propiedad sin memoria. Pista. Use P(X = k) = P(X = k + 1|X > 1) repetidamente.