Pregunta: Demuestre que rref(A) es único para cualquier matriz A. Eso es rref(A) no depende del orden en que aplique las operaciones de fila para llegar a él. Puedes demostrarlo por inducción en el número de columnas en 3 pasos: a) Demuestre que si A tiene una sola columna, entonces su rref es única. b) Sea A con m columnas. Entonces la matriz A' obtenida al eliminar

Demuestre que rref(A) es único para cualquier matriz A. Eso es rref(A) no depende del orden en que aplique las operaciones de fila para llegar a él.

Puedes demostrarlo por inducción en el número de columnas en 3 pasos:

a) Demuestre que si A tiene una sola columna, entonces su rref es única.

b) Sea A con m columnas. Entonces la matriz A' obtenida al eliminar la última columna tiene (m-1) columnas. rref de A' es único por la

inducción. Explique por qué las primeras m-1 columnas de rref(A) forman rref(A') (demuestre que se obtuvieron mediante operaciones de fila de A' y satisfacen las propiedades de rref)

c) Si B y C son dos rref diferentes de A, entonces por b) solo pueden diferir en la última m-ésima columna. Digamos que b_{im} no es igual a c_{im} para alguna i. Considere sistemas homogéneos con matrices de coeficientes B y C. Demuestre que x_m = 0, por lo que no es una variable libre. Entonces la última columna de B y C debe contener un 1 inicial,

Pero por la propiedad 3) de rref el primero de B y C debe estar en la misma posición que contradice: b_{im} no es igual a c_{im}, entonces B=C.