Pregunta: Demuestre que entre n + 1 números enteros positivos que no excedan de 2n debe haber un número entero que divida a uno de los otros números enteros. Solución : Escriba cada uno de los n + 1 enteros a1, a2, . . . , an+1 como potencia de 2 veces un entero impar. En otras palabras, sea aj = 2kj qj para j = 1, 2, . . . , n + 1, donde kj es un número entero no

Demuestre que entre n + 1 números enteros positivos que no excedan de 2n debe haber un número entero que divida a uno de los otros números enteros.

Solución : Escriba cada uno de los n + 1 enteros a1, a2, . . . , an+1 como potencia de 2 veces un entero impar. En otras palabras, sea aj = 2kj qj para j = 1, 2, . . . , n + 1, donde kj es un número entero no negativo y qj es impar. Los números enteros q1, q2, . . . , qn+1 son todos los enteros positivos impares menores que 2n. Debido a que solo hay n números enteros positivos impares menores que 2n, del principio del casillero se deduce que dos de los números enteros q1, q2, . . . , qn+1 debe ser igual. Por lo tanto, hay enteros distintos i y j tales que qi = qj. Sea q el valor común de qi y qj. Entonces, ai = 2ki q y aj = 2kj q. Se sigue que si ki < kj, entonces ai divide aj; mientras que si ki > kj , entonces aj divide ai.

Estoy aprendiendo sobre el principio del casillero en matemáticas discretas. este ejemplo es de Matemáticas discretas y sus aplicaciones" por Kenneth H. Rosen, 7.ª edición. Ubicación: Capítulo 6, sección 2, página 403, ejemplo 11.

Estoy confundido acerca de lo que está pasando, como si el conjunto de enteros tiene n+1 elementos o 2 elementos, si los elementos son todos enteros positivos hasta el número máximo, si los números son aleatorios y, de ser así, si los números podrían repetirse Me parece que el tamaño del conjunto es N+1 y el valor máximo del elemento es 2n. en cuanto a la ecuación aj = 2kj qj, no tengo ni idea de dónde viene, no puedo ver ninguna conexión. Entiendo que debe haber una división posible, porque solo un máximo de n valores impares en un conjunto de n +1 elementos que son menores que 2n. Esto significa que incluso en el peor de los casos, donde todos los elementos son impares (no divisibles por ningún número par), al menos uno debe repetirse, y los números primos pares son divisibles por 1 y por ellos mismos. Si hay números pares en el conjunto, 2 es el único número primo posible. Entiendo que este hecho trae automáticamente el principio del casillero a la ecuación (perdonen el juego de palabras), pero no entiendo la ecuación que usa el libro, ya que solo puedo completar todos los puntos excepto k, y no entiendo de dónde vino esa ecuación. desde en primer lugar.

En resumen, puedo razonar a mi manera por qué la declaración original es verdadera, pero la solución de mi libro de texto me ha dejado confundido más que ayudarme, y me gustaría que me ayudaran a asegurarme de que la entiendo.