Pregunta: Demuestre el Lema 5.2 para dos variables aleatorias de Poi. Es decir, suponiendox∼Poi(μ1) yY∼Poi(μ2) , de forma independiente, demuestre queS=x+Y∼Poi(μ1+μ2) . Sugerencia: Utilice la ley de probabilidad total conEk={x1=k} Para encontrarpS(j)=∑k=0jdots Comenzando con la ley de probabilidad total parapS(j) , y luego mover todos los factores que no

Demuestre el Lema $5\mathrm{.}2$ para dos variables aleatorias de Poi. Es decir, suponiendox$\sim Poi({\mu }_1)$ y$Y\sim Poi({\mu }_2),$ de forma independiente, demuestre queS$=x+Y\sim Poi({\mu }_1+{\mu }_2).$ Sugerencia: Utilice la ley de probabilidad total con$E_k=\{x_1=k\}$ Para encontrar$p_S(j)={\displaystyle \sum _{k=0}^j}$dots Comenzando con la ley de probabilidad total para$p_S(j),$ y luego mover todos los factores que no involucranj fuera de la suma obtenemos$p_S(j)={\displaystyle \sum _{k=0}^j}{p}_{x_1}(k)p_{x_2}(jk)={\displaystyle \sum _{k=0}^j}\frac{e^{-{\mu }_1}{\mu }_1^k}{k!}*\frac{e^{-{\mu }_2}{\mu }_2^{jk}}{(jk)!}=\frac{e^{-({\mu }_1+{\mu }_2)}}{j!}{\displaystyle \sum _{k=0}^j}(\frac{j}{k}){\mu }_1^k{\mu }_2^{jk}$ Sea RHS el $ú$ltimo lado derecho de la figura anterior. Completando la prueba a partir de aqu$í,¿$cu$á$l de los siguientes argumentos prueba la afirmaci$ó$n$?($a$)RHS=\frac{e^{-({\mu }_1+{\mu }_2)}({\mu }_1+{\mu }_2{)}^j}{j!}{\displaystyle \sum _{k=0}^j}(\frac{j}{k})p^k(1-p{)}^{jk}$ conp$=\frac{{\mu }_1}{{\mu }_1+{\mu }_2}$ y${\displaystyle \sum _k^{?}}$dots$=1.($b$)RHS=\frac{e^{-({\mu }_1+{\mu }_2)}}{j!}$ desde${\displaystyle \sum _{k=0}^j}(\frac{j}{k}){\mu }_1^k{\mu }_2^{jk}=1($c$)$ Usonp$=\lambda ={\mu }_1+{\mu }_2$ parap$=\frac{{\mu }_1}{{\mu }_1+{\mu }_2}($d$)\underset{j\to \infty }{lim}RHS=\frac{e^{-({\mu }_1+{\mu }_2)}({\mu }_1+{\mu }_2{)}^j}{j!}($e$)$ ninguna de estas