Pregunta: a) Demuestra que los coeficientes que llevan a la combinación lineal correcta están dados por \( T_{j}^{i}=\langle i|T| j\rangle \), y explica la importancia de la ortonormalidad de la base para este

Para acabar de asentar ciertas ideas y notación, notemos que para una transformación lineal $T$ que opera sobre un espacio vectorial de dimensionalidad $d$, el vector $T|j⟩$ que resulta de actuar con $T$ sobre uno de los elementos de una base ortonormal $\{|i⟩\}$ con $i$ de 1 a $d$, se puede escribir como una combinación lineal de los elementos de la misma base, es decir, como ${\sum }_{i=1}^d{T}_j^i|i⟩$ para los coeficientes correctos $T_j^i$, cuyo índice $j$ guarda la información de cual fue el elemento de la base sobre el que actuó $T$. a) Muestra que los coeficientes que llevan a la combinación lineal correcta están dados por $T_j^i=⟨i|T|j⟩$, y explica la importancia de la ortonormalidad de la base para este cálculo. b) Usando está expresión para $T_j^i$ demuestra la igualdad $T={\sum }_{i=1}^d{\sum }_{j=1}^d{T}_j^i|i⟩⟨j|$ entre transformaciones lineales, y explica porque es importante de nuevo que la base sea ortonormal. Desde luego el primer paso es notar que el lado derecho de dicha igualdad es una transformación lineal. c) Muestra que el vector resultante de la acción de $T$ sobre un vector general $|v⟩$ está dado por $v^{\prime }={\sum }_{i=1}^d{\sum }_{j=1}^d{T}_j^i{v}^j|i⟩$, con $v^j$ los componentes $⟨j\mid v⟩$ del vector $v$, y explica porque esto implica la relación $v^{\prime i}={\sum }_{j=1}^d{T}_j^i{v}^j$ entre los componentes $v^{\prime i}$ del vector $v^{\prime }=Tv$ y los de $v$. Lo anterior debe dejar claro porque las matrices $d\times 0,0\times d$, y $d\times d$ involucradas en los incisos de este problema representan a los elementos del espacio vectorial, sus duales, y los operadores que actúan sobre estos.