a) Demostrar que el grupo Z x Z con la operación (a,b)+(c,d)= (a+c, b+d) es abeliano y no cíclico. b) Da un ejemplo de un grupo abeliano que sea cíclico. Justifica la respuesta.

Veamos que es asociativo: Sean (a,b), (c,d) y (e,f) inZZ ((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c,b+d)+(e,f)=(a+c+e,b+d+f)=(a+(c+e),b+(d+f)) =(a,b)+(c+e,d+f)=(a,b)+((c,d)+(e,f)) .

Resuelto a) Demostrar que el grupo Z x Z con la operación

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Pregunta: a) Demostrar que el grupo Z x Z con la operación (a,b)+(c,d)= (a+c, b+d) es abeliano y no cíclico. b) Da un ejemplo de un grupo abeliano que sea cíclico. Justifica la respuesta.
a) Demostrar que el grupo Z x Z con la operación (a,b)+(c,d)= (a+c, b+d) es abeliano y no cíclico.

b) Da un ejemplo de un grupo abeliano que sea cíclico. Justifica la respuesta.
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Solución
Paso 1
Veamos que es asociativo: Sean (a,b), (c,d) y (e,f) $\in Z$

$((a, b) + (c, d)) + (e, f) = (a + c, b + d) + (e, f) = (a + c + e, b + d + f) = (a + (c + e), b + (d + f))$
$= (a, b) + (c + e, d + f) = (a, b) + ((c, d) + (e, f))$ .
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