Pregunta: del libro principios de analisis matematico de walter. Rudin Del teorema 7.16 explicar bien a detalle su demostracion para que sea mas entendible

CONVERGENCIA UNIFORME E INTEGRACIÓN 7.16 Teorema Sea $\alpha$ monótona creciente sobre $[a,b]$. Supóngase que $f_n\in$ $\Re (\alpha )$ sobre $[a,b]$, para $n=1,2,3,\dots ,y$ que $f_n\to f$ uniformemente sobre $[a,b]$. Entonces $f\in \mathcal{R}(\alpha )$ sobre $[a,b],y$ ${\int }_a^{b}fd\alpha ={\lim }_{n\to \infty }{\int }_a^b{f}_{n}d\alpha .$ (La existencia del límite en (23) es parte de la conclusión.) Demostración Es suficiente demostrarlo para $f_n$ real. Se hace ${\epsilon }_n=\sup \left|f_n(x)-f(x)\right|,$ el supremum se ha tomado sobre $a\le x\le b$. Entonces $f_n-{\epsilon }_n\le f\le f_n+{\epsilon }_n,$ de manera que las integrales superior e inferior de $f$ satisfacen (véase la Definición 6.2), ${\int }_a^b\left(f_n-{\epsilon }_n\right)d\alpha \le {\int }_{-}fd\alpha \le \bar{\int }fd\alpha \le {\int }_a^b\left(f_n+{\epsilon }_n\right)d\alpha .$ En consecuencia $0\le \bar{\int }fd\alpha -{\int }_{-}fd\alpha \le 2{\epsilon }_n[\alpha (b)-\alpha (a)].$ Como ${\epsilon }_n\to 0$ cuando $n\to \infty$ (por el Teorema 7.9), las integrales superior e inferior de $f$ son iguales. Entonces $f\in \mathcal{R}(\alpha )$. Otra aplicación de (25) produce ahora $\left|{\int }_a^{b}fd\alpha -{\int }_a^b{f}_{n}d\alpha \right|\le {\epsilon }_n[\alpha (b)-\alpha (a)].$ Esto implica (23). 7.9 Teorema Supongamos ${\lim }_{n\to \infty }{f}_n(x)=f(x)(x\in E).$ Hagamos $M_n={\sup }_{x\in E}\left|f_n(x)-f(x)\right|.$ Entonces, $f_n\to f$ uniformemente en $E$ si y solo si $M_n\to 0$ cuando $n\to \infty$. Como esto es consecuencia inmediata de la Definición 7.7, omitimos los detalles de la demostración. Hay un criterio de convergencia uniforme muy conveniente para las series, debido a Weierstrass: