Pregunta: Dejar X1 , X2 , Xm denota una muestra aleatoria de la densidad exponencial con media 1 y dejar Y1 , Y2 , Yn denota una muestra aleatoria independiente de una densidad exponencial con media 𝜃 2 . (a) Encuentre el criterio de razón de verosimilitud para la prueba H 0 : 𝜃 1 = 𝜃 2 versus H

Dejar

_X1 , _X2 , _Xm

denota una muestra aleatoria de la densidad exponencial con media

₁

y dejar

_Y1 , _Y2 , _Yn

denota una muestra aleatoria independiente de una densidad exponencial con media

𝜃 ₂ .

(a)

Encuentre el criterio de razón de verosimilitud para la prueba

H ₀ : 𝜃 ₁ = 𝜃 ₂

versus

H _a : 𝜃 ₁ ≠ 𝜃 ₂ .

Escribe tus respuestas en términos de T ₁ =

X _i y T ₂ =

Yo _yo .

Bajo la hipótesis alternativa el MLE de

₁

es ₁ =

y el MLE de

𝜃 ₂

es ₂ =

. Bajo la hipótesis nula, el MLE de

𝜃 = 𝜃 ₁ = 𝜃 ₂

es ₀ =

El criterio de prueba de razón de verosimilitud indica entonces rechazar

_H0

para 𝜆 =

< k donde 𝜆 se da a continuación.𝜆 =

=

(b)

Demuestre que la prueba de la parte (a) es equivalente a una prueba F exacta [PISTA: Transforme

X _yo y

Y _j a

𝜒 ²

variables aleatorias.]

Escribe tus respuestas en términos de T ₁ =

X _i y T ₂ =

Yo _yo .

La cantidad

_c1t1​

tiene una distribución de chi-cuadrado con

2 m

para grados de libertad para c ₁ =

. De manera similar la cantidad

_c2t2​

tiene una distribución de chi-cuadrado con

2n

para grados de libertad c ₂ =

. Entonces, bajo la hipótesis nula de

𝜃 = 𝜃 ₁ = 𝜃 ₂

conocemos la cantidad U =

tiene una distribución F. En términos de la variable U , podemos reescribir 𝜆 como 𝜆 =

+

Tú +