Definir f(x,y) = xy(x 2 −y 2 )/(x 2 +y 2 ) cuando (x,y)≠(0,0) y x 2 + y 2 f(0,0) = 0. (a) Demuestre que f, f x , f y son continuas en R 2 . (b) Demuestre que f xy y f yx existen en R

Definir, f(x,y)={(xy((x^2-y^2))/((x^2+y^2)) if(x,y) !=(0,0)),(0 if (x,y)=(0,0)):} (a) Sea, x=rcostheta and y =rsintheta, entonces r^2=x^2+y^2 y (x,y)->(0,0) implica r->0

Resuelto Definir f(x,y) = xy(x 2 −y 2 )/(x 2 +y 2 ) cuando

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Pregunta: Definir f(x,y) = xy(x 2 −y 2 )/(x 2 +y 2 ) cuando (x,y)≠(0,0) y x 2 + y 2 f(0,0) = 0. (a) Demuestre que f, f x , f y son continuas en R 2 . (b) Demuestre que f xy y f yx existen en R
Definir f(x,y) = xy(x ² −y ² )/(x ² +y ² ) cuando (x,y)≠(0,0) y x ² + y ²
f(0,0) = 0.
(a) Demuestre que f, f x , f y son continuas en R 2 .
(b) Demuestre que f xy y f yx existen en R 2 y son continuas excepto en (0, 0).
(c) Demuestre que f xy (0, 0) = 1 y f yx (0, 0) = −1.
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Solución
Paso 1
Definir, $\begin{matrix} f (x, y) = {\begin{matrix} x y \frac{(x^{2} - y^{2})}{(x^{2} + y^{2})} if (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 if (x, y) = (0, 0) \end{matrix} \end{matrix}$
(a) Sea, $x = r \cos θ and y = r \sin θ,$ entonces $r^{2} = x^{2} + y^{2}$
y $(x, y) \to (0, 0)$ implica $r \to 0$
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Pregunta: Definir f(x,y) = xy(x 2 −y 2 )/(x 2 +y 2 ) cuando (x,y)≠(0,0) y x 2 + y 2 f(0,0) = 0. (a) Demuestre que f, f x , f y son continuas en R 2 . (b) Demuestre que f xy y f yx existen en R

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