Pregunta: Definición 1. Sea x=(xn)n≥1 una cadena de Markov con espacio de estados E y probabilidades de transición P=(Px,y)x,yinE. Una función f:E→R es armónica para la cadena de Markov x si satisface la siguientes condiciones|E(f(xn))|<∞ para todo ninN;y|)=(x, para todo xinE,ninN.Problema 3 (10 puntos). Sea f una función armónica para la cadena de Markov x

Definici$ó$n $1.$ Sea $x=(x_n{)}_n\ge 1$ una cadena de Markov con espacio de estados $E$ y probabilidades de transici$ó$n $P=(P_{x,y}{)}_{x,\text{y}\text{i}\text{n}\text{E}}.$ Una funci$ó$n $f$:$E\to R$ es arm$ó$nica para la cadena de Markov $x$ si satisface la siguientes condiciones

$|E(f(x_n))|<\infty$ para todo ninN;$y$

$|)=(x,$ para todo xinE,ninN.

Problema $3(10$ puntos$).$ Sea $f$ una funci$ó$n arm$ó$nica para la cadena de Markov $x$ y definamos $M_n=f(x_n)$ para cada $n\ge 1.$

$($a$)$ Demuestra que el proceso estoc$á$stico $M=(M_n{)}_n\ge 1$ es una martingala con respecto a la cadena de Markov $(x_n{)}_n\ge 1.$

$($b$)$ Demuestra que

$|)=(x$