Dado el potencial $ V_tr(\vec{r}) = \frac{1}{2} m \omega^2(x^2 + y^2 + z^2) $ a) Demuestre que los estados cuánticos de una partícula tener energías. $\epsilon_{n_x,n_y,n_z} = \hbar \omega n_x + n_y + n_z + \frac{3}{2} $ b) Encuentre el número total de estados cuánticos con energías menores que \epsilon, y así demuestre que la densidad de estados es $g(\epsi ) = \frac{\epsilon^2 }{2( \hbar \omega)^3$ cuando \epsilon es grande. c) Escriba el número promedio de partículas en el sistema para esta densidad de estados y demuestre que la temperatura BEC para N átomos en la trampa, con N grande, es del orden de $T_c ≈ \frac{N^{ \frac {1}{3}} \hbar \omega}{k_b}$

Question

Dado el potencial $ V_tr(\vec{r}) = \frac{1}{2} ﻿m \omega^2(x^2 + ﻿y^2 + ﻿z^2) ﻿$ a) ﻿Demuestre que los estados cuánticos de una partícula tener energías. ﻿$\epsilon_{n_x,n_y,n_z} = \hbar \omega n_x + ﻿n_y + ﻿n_z + \frac{3}{2} ﻿$ b) ﻿Encuentre el número total de estados cuánticos con energías menores que \epsilon, ﻿y así ﻿demuestre que la densidad de estados es $g(\epsi ) = \frac{\epsilon^2 }{2( \hbar \omega)^3$ cuando \epsilon es grande. c) ﻿Escriba el número promedio de partículas en el sistema para esta densidad de estados y demuestre que la temperatura BEC para N átomos en la trampa, con N grande, es del orden de $T_c ≈ \frac{N^{ \frac {1}{3}} \hbar \omega}{k_b}$

Accepted Answer

Solución:-  Para un oscilador armónico simple unidimensional, el hamiltoniano,

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