Pregunta: Si S(x,t) es la acción clásica que satisface las ecuaciones de Hamilton-Jacobi: ∂t∂S(x,t)=−H(x,p),p=∇S(x,t); donde H es el hamiltoniano clásico y p el vector de momento. Si considera que: ψ(x,t)=exp[ℏiS(x,t)] es la función de onda en términos de la acción, H^=H(x,p^2) y la ecuación de Schrödinger; encuentre la expresión análoga a la ecuación de Schrödinger

Si $\mathcal{S}(\mathbf{x},t)$ es la acción clásica que satisface las ecuaciones de Hamilton-Jacobi: $\begin{array}{c}\frac{\partial \mathcal{S}(\mathbf{x},t)}{\partial t}=-H(\mathbf{x},\mathbf{p}),\\ \mathbf{p}=\nabla \mathcal{S}(\mathbf{x},t);\end{array}$ donde $H$ es el hamiltoniano clásico y $\mathbf{p}$ el vector de momento. Si considera que: $\psi (\mathbf{x},t)=\exp \left[\frac{i}{\hslash }\mathcal{S}(\mathbf{x},t)\right]$ es la función de onda en términos de la acción, $\hat{H}=H\left(\mathbf{x},{\hat{p}}^2\right)$ y la ecuación de Schrödinger; encuentre la expresión análoga a la ecuación de Schrödinger en términos de la acción y la ecuación de la dinámica cuántica en términos de un operador lagrangiano, ${\hat{L}}_{\text{agrangiano }}\left(\mathbf{x},\frac{\partial x^1}{\partial t},\frac{\partial x^2}{\partial t},\cdots ,\frac{\partial x^n}{\partial t},t\right)\text{. }$