Pregunta: Coordenadas pseudo-toroidales (Lo que se entiende por coordenadas toroidales es algo diferente, como se puede estudiar en el libro de Arfken, por ejemplo.) Considere un toro descrito por coordenadas rectangulares x=Rcosφ=(Ro+rcosϑ)cosφy=Rsinφ=(Ro+rcosϑ)sinφz=Z=rsinϑ en donde se han empleado las coordenadas cilíndricas (R,φ,Z) en la primera igualdad, y

Coordenadas pseudo-toroidales (Lo que se entiende por coordenadas toroidales es algo diferente, como se puede estudiar en el libro de Arfken, por ejemplo.) Considere un toro descrito por coordenadas rectangulares $\begin{array}{l}x=R\cos \phi =\left(R_o+r\cos \vartheta \right)\cos \phi \\ y=R\sin \phi =\left(R_o+r\cos \vartheta \right)\sin \phi \\ z=Z=r\sin \vartheta \end{array}$ en donde se han empleado las coordenadas cilíndricas $(R,\phi ,Z)$ en la primera igualdad, $\mathrm{y}$ posteriormente se ha proyectado el vector que va de la posición del radio mayor del toro $R_o$ a un punto dado sobre el toro con radio $r$ y ángulo $\vartheta$, como se describe el la figura. Por lo tanto el elemento de arco de $\mathbf{r}(x,y,z)$ está dado por $\begin{array}{r}d\mathbf{l}=dr{\hat{\mathbf{e}}}_r+rd\vartheta {\hat{\mathbf{e}}}_{\vartheta }+Rd\phi {\hat{\mathbf{e}}}_{\phi }\\ \mathrm{y}d{s}^2=d{r}^2+r^{2}d{\vartheta }^2+R^{2}d{\phi }^2\end{array}$ Normalizando con respecto al radio mayor $R_o$, y definiendo el inverso de la razón de aspecto para una superficie de radio $r$ como $\epsilon =r/R_o$, se tiene alternativamente $h_{\epsilon }=1,h_{\vartheta }=\epsilon ,h_{\phi }=1+\epsilon \cos \vartheta \equiv h.$ Cada punto sobre el toro es entonces descrito por $\mathbf{r}(x,y,z)=x{\hat{\mathbf{e}}}_x+y{\hat{\mathbf{e}}}_y+z{\hat{\mathbf{e}}}_z$. 1. Evalúe $\frac{\partial r}{\partial r},\frac{\partial r}{\partial \vartheta },\frac{\partial r}{\partial \phi }$, y demuestre que los factores de escala para el nuevo sistema de coordenadas son $h_r=\left|\frac{\partial r}{\partial r}\right|=1,h_{\vartheta }=\left|\frac{\partial r}{\partial \vartheta }\right|=r,h_{\phi }=\left|\frac{\partial r}{\partial \phi }\right|=R_o+r\cos \vartheta =R.$