Construcción Primero, definimos A0=[0,1].Ahora, obtenemos A1 removiendo el tercio intermedio de A0. En este caso,removemos (13,23) al conjunto 0,1. De esta forma A1=[0,13]∪[23,1].Para obtener A2, vamos a remover los tercios intermedios de los intervalosen A1. En este caso, removemos (19,29) al conjunto 0,13 y (79,89) alconjunto 23,1. De esta formaA2=[0,19]∪[29,13]∪[23,79]∪[89,1].En general, An+1 es el conjunto que se obtiene al remover los terciosintermedios de los intervalos en An.Escribe A3 y haz un dibujo de A0,A1,A2,A3.Muestra (escribe un argumento ) que An tiene 2n y que cada intervalo es de tamaño 13n.Definimos el conjunto de Cantor como C=∩ni=0∞Ai. Es decir, la intersección infinita de los conjuntos que describimos.Ahora, definiremos una nueva familia de conjuntos. Los índices no serán números naturales, sino secuencias finitas de 0 y 1 . Nota que esta es una forma de escribir funciones que tomen valores 0 o 1 .Empezamos con B0=A0.Ahora bien, B0=[0,13] (el intervalo de B0 que quedó del lado izquierdo)y B1=[23,1] (el intervalo de B0 que quedó del lado izquierdo).Para el siguiente paso, B00=[0,19] (el intervalo de B0 que quedó dellado izquierdo) y B01=[29,13] (el intervalo de B0 que quedó del ladoizquierdo). Además, B10=[23,79] (el intervalo de B1 que quedó del lado izquierdo) y B11=[89,1] (el intervalo de B1 que quedó del lado izquierdo).Escribe B010 y B0101.Dado un elemento fininN{0,1}, defininimos f|~n como la secuencia finita f(1)f(2)f(3)dotsf(n). Nótese que f|~n tiene tamaño n y que Bf|nsubeBf|(n-1).Muestra que para toda finN{0,1}, el límite de la longitud de Bf|n es 0 .(Extra) Argumenta que si ∩ni=0∞Bf|n≠O? entonces ∩ni=0∞Bf|n tiene unsolo punto.

Question

Construcción Primero, definimos A0=[0,1].Ahora, obtenemos A1 ﻿removiendo el tercio intermedio de A0. ﻿En este caso,removemos (13,23) ﻿al conjunto 0,1. ﻿De esta forma A1=[0,13]∪[23,1].Para obtener A2, ﻿vamos a remover los tercios intermedios de los intervalosen A1. ﻿En este caso, removemos (19,29) ﻿al conjunto 0,13 ﻿y (79,89) ﻿alconjunto 23,1. ﻿De esta formaA2=[0,19]∪[29,13]∪[23,79]∪[89,1].En general, An+1 ﻿es el conjunto que se obtiene al remover los terciosintermedios de los intervalos en An.Escribe A3 ﻿y haz un dibujo de A0,A1,A2,A3.Muestra (escribe un argumento ) ﻿que An ﻿tiene 2n ﻿y que cada intervalo es de tamaño 13n.Definimos el conjunto de Cantor como C=∩ni=0∞Ai. ﻿Es decir, la intersección infinita de los conjuntos que describimos.Ahora, definiremos una nueva familia de conjuntos. Los índices no serán números naturales, sino secuencias finitas de 0 ﻿y 1 . ﻿Nota que esta es una forma de escribir funciones que tomen valores 0 ﻿o 1 .Empezamos con B0=A0.Ahora bien, B0=[0,13] (el intervalo de B0 ﻿que quedó ﻿del lado izquierdo)y B1=[23,1] (el intervalo de B0 ﻿que quedó ﻿del lado izquierdo).Para el siguiente paso, B00=[0,19] (el intervalo de B0 ﻿que quedó ﻿dellado izquierdo) ﻿y B01=[29,13] (el intervalo de B0 ﻿que quedó ﻿del ladoizquierdo). ﻿Además, B10=[23,79] (el intervalo de B1 ﻿que quedó ﻿del lado izquierdo) ﻿y B11=[89,1] (el intervalo de B1 ﻿que quedó ﻿del lado izquierdo).Escribe B010 ﻿y B0101.Dado un elemento fininN{0,1}, ﻿defininimos f|~n ﻿como la secuencia finita f(1)f(2)f(3)dotsf(n). ﻿Nótese que f|~n ﻿tiene tamaño n ﻿y que Bf|nsubeBf|(n-1).Muestra que para toda finN{0,1}, ﻿el límite de la longitud de Bf|n ﻿es 0 .(Extra) ﻿Argumenta que si ∩ni=0∞Bf|n≠O? ﻿entonces ∩ni=0∞Bf|n ﻿tiene unsolo punto.

Accepted Answer

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