Pregunta: Constante de Euler Hemos demostrado que la serie armónica Σ diverge. Aquí investigamos el comportamiento de 72 n=1 las sumas parciales S como k→∞o. En particular, mostramos que se comportan como la función logarítmica natural demostrando que existe una constante y tal que k

Constante de Euler
Hemos demostrado que la serie armónica
Σ
diverge. Aquí investigamos el comportamiento de
72
n=1
las sumas parciales S como k→∞o. En particular, mostramos que se comportan como la función
logarítmica natural demostrando que existe una constante y tal que
k

1. Supongamos que T
n=1
=
1
n
Esta constante y se conoce como la constante de Euler. D
k 1
x
n
Ink. Evalúe T para varios valores de k.
n=]
2. Para T tal y como se define en la parte 1. demuestre que la secuencia {T} converge mediante los
siguientes pasos
Ink→ya medida que k→ ∞0.
a. Demuestre que la secuencia {T} es monótona decreciente. (Pista: Demuestre que
In (1 + 1/k> 1/(k+1)))
b. Demuestre que la secuencia {T} está delimitada por debajo de cero. (Pista: Exprese In k
como integral definida).
c. Utilice el teorema de convergencia monótona para concluir que la secuencia {T} converge.
El límite y es la constante de Euler.