Considere una secuencia de n ensayos multinomiales cada uno con k+1 posibles respuestas O1,...,Ok+1, sea Yi el nu ́mero de ensayos que resultar ́on con respuesta Oi, i = 1, ..., k + 1. Entonces la funci ́on de densidad conjunta de (Y1, ..., Yk+1) es la distribuci ́on multinomialP(Y1 = y1,...,Yk+1 = yk+1) = n! py1 ···pyk+1, y1!···yk+1! 1 k+1donde pi es la

Considere una secuencia de n ensayos multinomiales

Pregunta: Considere una secuencia de n ensayos multinomiales cada uno con k+1 posibles respuestas O1,...,Ok+1, sea Yi el nu ́mero de ensayos que resultar ́on con respuesta Oi, i = 1, ..., k + 1. Entonces la funci ́on de densidad conjunta de (Y1, ..., Yk+1) es la distribuci ́on multinomialP(Y1 = y1,...,Yk+1 = yk+1) = n! py1 ···pyk+1, y1!···yk+1! 1 k+1donde pi es la
Considere una secuencia de n ensayos multinomiales cada uno con k+1 posibles respuestas O1,...,Ok+1, sea Yi el nu ́mero de ensayos que resultar ́on con respuesta Oi, i = 1, ..., k + 1. Entonces la funci ́on de densidad conjunta de (Y1, ..., Yk+1) es la distribuci ́on multinomial
P(Y1 = y1,...,Yk+1 = yk+1) = n! py1 ···pyk+1, y1!···yk+1! 1 k+1
donde pi es la probabilidad de obtener la respuesta Oi en un ensayo, Pk+1 pi = 1, Pk+1 yi = n. Considere la i=1 i=1
prueba de hip ́otesis
H0:(p1,...,pk+1)=(p01,...,p0k+1) vs H1:(p1,...,pk+1)̸=(p01,...,p0k+1). Demuestre que la estad ́ıstica −2 log λ esta dada por la expresi ́on siguiente
k+1 Yi −2logλ = 2XYi log np0.
i=1 i
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6. Considere una secuencia de $n$ ensayos multinomiales cada uno con $k + 1$ posibles respuestas $O_{1}, \dots, O_{k + 1}$ , sea $Y_{i}$ el número de ensayos que resultarón con respuesta $O_{i, i} = 1, \dots, k + 1$ . Entonces la función de densidad conjunta de $(Y_{1}, \dots, Y_{k + 1})$ es la distribución multinomial $P (Y_{1} = y_{1}, \dots, Y_{k + 1} = y_{k + 1}) = \frac{n !}{y _{1} ! \dots y _{k + 1} !} p_{1}^{y_{1}} \dots p_{k + 1}^{n_{k + 1}},$ donde $p_{i}$ es la probabilidad de obtener la respuesta $O_{i}$ en un ensayo, $\sum_{i = 1}^{k + 1} p_{i} = 1, \sum_{i = 1}^{k + 1} y_{i} = n$ . Considere la prueba de hipótesis $H_{0} : (p_{1}, \dots, p_{k + 1}) = (p_{1}^{0}, \dots, p_{k + 1}^{0}) vs H_{l} : (p_{1}, \dots, p_{k + 1}) \neq = (p_{1}^{0}, \dots, p_{k + 1}^{0}) .$ Demuestre que la estadística $- 2 lo g λ$ esta dada por la expresión siguiente $- 2 lo g λ = 2 \sum_{i = 1}^{k + 1} Y_{i} lo g \frac{Y _{i}}{n p _{i}^{0}} .$

Texto de la transcripción de la imagen:

6. Considere una secuencia de

n

ensayos multinomiales cada uno con

k + 1

posibles respuestas

O_{1}, \dots, O_{k + 1}

, sea

Y_{i}

el número de ensayos que resultarón con respuesta

O_{i, i} = 1, \dots, k + 1

. Entonces la función de densidad conjunta de

(Y_{1}, \dots, Y_{k + 1})

es la distribución multinomial

P (Y_{1} = y_{1}, \dots, Y_{k + 1} = y_{k + 1}) = \frac{n !}{y _{1} ! \dots y _{k + 1} !} p_{1}^{y_{1}} \dots p_{k + 1}^{n_{k + 1}},

donde

p_{i}

es la probabilidad de obtener la respuesta

O_{i}

en un ensayo,

\sum_{i = 1}^{k + 1} p_{i} = 1, \sum_{i = 1}^{k + 1} y_{i} = n

. Considere la prueba de hipótesis

H_{0} : (p_{1}, \dots, p_{k + 1}) = (p_{1}^{0}, \dots, p_{k + 1}^{0}) vs H_{l} : (p_{1}, \dots, p_{k + 1}) \neq = (p_{1}^{0}, \dots, p_{k + 1}^{0}) .

Demuestre que la estadística

- 2 lo g λ

esta dada por la expresión siguiente

- 2 lo g λ = 2 \sum_{i = 1}^{k + 1} Y_{i} lo g \frac{Y _{i}}{n p _{i}^{0}} .

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