Pregunta: Considere un espacio de Hilbert cuyos miembros son funciones definidas en la superficie de la esfera unitaria, con un producto escalar de la forma < f | gramo > = ∫dΩf * gramo donde dΩ es el elemento de ángulo sólido. Tenga en cuenta que el ángulo sólido total de la esfera es 4π. Trabajamos aquí con las tres funciones φ 1 = C x/r , φ 2 =C y/r , φ 3 =C z/r ,

Considere un espacio de Hilbert cuyos miembros son funciones definidas en la superficie de la esfera unitaria, con un producto escalar de la forma

< f | gramo > = ∫dΩf ^* gramo

donde dΩ es el elemento de ángulo sólido. Tenga en cuenta que el ángulo sólido total de la esfera es 4π. Trabajamos aquí con las tres funciones φ ₁ = C x/r , φ ₂ =C y/r , φ ₃ =C z/r , asignándole a C un valor que hace que φi _se normalice.

(a) Encuentre C y demuestre que los φ _i también son mutuamente ortogonales.

(b) Forme las matrices de 3 x 3 de los operadores de momento angular

_Lx = -i(y∂/∂zz∂/∂y)

L _y = -i(z∂/∂xx∂/∂z)

_Lz = -i(x∂/∂yy∂/∂x)

(c) Verifique que las representaciones matriciales de los componentes de L satisfagan el conmutador de momento angular

[ L _x , L _y ] = iL _z