Pregunta: Considera un tensor A tipo (0,2) sobre un punto del espacio de Minkowski. a) Sea {∂μ} la base canónica para este espacio. Escribe el tensor en terminos de la base dual a {dxμ} y de sus componentes Aμν. (Recuerda que el conjunto de tensores (0,2) en un punto es un espacio vectorial, ¿De qué dimensión es este espacio?) b) Definimos la parte simétrica de un

Considera un tensor $A$ tipo $(0,2)$ sobre un punto del espacio de Minkowski. a) Sea $\left\{{\partial }_{\mu }\right\}$ la base canónica para este espacio. Escribe el tensor en terminos de la base dual a $\left\{d{x}^{\mu }\right\}$ y de sus componentes $A_{\mu \nu }$. (Recuerda que el conjunto de tensores $(0,2)$ en un punto es un espacio vectorial, ¿De qué dimensión es este espacio?) b) Definimos la parte simétrica de un tensor $T$ tipo $(0,k)$ como $T_{\left({\mu }_1\cdots {\mu }_k\right)}=\frac{1}{k!}{\sum }_{P\left({\mu }_i\right)}{T}_{{\mu }_1\cdots {\mu }_k},$ y la antisimétrica como $t_{\left[{\mu }_1\cdots {\mu }_k\right]}=\frac{1}{k!}{\sum }_{P\left({\mu }_i\right)}\sigma (P)T_{{\mu }_1\cdots {\mu }_k},$ donde la suma se hace sobre todas las permutaciones de los índices ${\mu }_1\cdots {\mu }_k$ y $\sigma (P)$ es el signo de la permutación: +1 si la permutación de índices es par, por ejemplo, ${\mu }_1{\mu }_2{\mu }_3\to {\mu }_3{\mu }_2{\mu }_1$ y -1 si la permutación es impar ${\mu }_1{\mu }_2{\mu }_3\to {\mu }_2{\mu }_1{\mu }_3$. Por ejemplo, para un tensor de tipo $(0,2)$ tenemos que las componentes de las partes simétrica y ant isimétrica son $T_{(\mu \nu )}=\frac{1}{2}\left(T_{\mu \nu }+T_{\nu \mu }\right)\text{ y }{T}_{[\mu \nu ]}=\frac{1}{2}\left(T_{\mu \nu }-T_{\nu \mu }\right).$ Considera ahora un campo tensorial $B$ tipo $(0,3)$ antisimétrico en sus últimos dos índices, es decir, $B_{\mu \sigma \nu }=-B_{\mu \nu \sigma }$. Muestra que dada la propiedad de (anti)simetría del tensor $B$, la parte antisimétrica se puede escribir como $3B_{[\mu \nu \sigma ]}=B_{\mu \nu \sigma }+B_{\nu \sigma \mu }+B_{\sigma \mu \nu }.$