Pregunta: Considera un cubo de dimensiones pequeñas Δx,Δy,Δz, como el que se muestra en la figura. Supón que la esquina interior izquierda está ubicada en el punto (x,y,z). En esta actividad calcularás el valor de la integral ∬sF⋅n^dS sobre la superficie del cubo. Aqui el vector normal n^ sale de la superficie y el campo está dado por

Considera un cubo de dimensiones pequeñas $\Delta x,\Delta y,\Delta z$, como el que se muestra en la figura. Supón que la esquina interior izquierda está ubicada en el punto $(x,y,z)$. En esta actividad calcularás el valor de la integral $\iint \vec{F}\cdot \hat{n}dS$ sobre la superficie del cubo. Aqui el vector normal $\hat{n}$ sale de la superficie y el campo está dado por $\vec{F}=M(x,y,z)\hat{i}+N(x,y,z)\hat{ȷ}+P(x,y,z)\hat{k}$ 1) Calcula el valor de la integral sobre la superficie $S_3$. Muestra que ${\iint }_{S_{\mathrm{s}}}\vec{F}\cdot \hat{n}dS\approx N\left(x+\frac{dx}{2},y+dy,z+\frac{dz}{2}\right)\Delta x\Delta z$ 2) Calcula el valor de la integral sobre la superficie S4. Muestra que ${\iint }_{S_4}\vec{F}\cdot \hat{n}dS\approx -N\left(x+\frac{dx}{2},y,z+\frac{dz}{2}\right)\Delta x\Delta z$ 3) Sumando estos dos resultados muestra que $\frac{1}{\Delta x\Delta y\Delta z}{\iint }_{S_{\mathrm{s}}\cup S_4}\vec{F}\cdot \hat{n}dS\approx \frac{N\left(x+\frac{dx}{2},y+dy,z+\frac{dz}{2}\right)-N\left(x+\frac{dx}{2},y,z+\frac{dz}{2}\right)}{\Delta y}\approx N_y(x,y,z)$ Donde $\Delta V=\Delta x\Delta y\Delta z$ es el volumen del cubo. 4) De forma similar muestra que $\frac{1}{\Delta x\Delta y\Delta z}{\iint }_{S_1\cup S_2}\vec{F}\cdot \hat{n}dS\approx M_x(x,y,z);\frac{1}{\Delta x\Delta y\Delta z}{\iint }_{S_5\cup S_6}\vec{F}\cdot \hat{n}dS\approx P_z(x,y,z)$ 5) Finalmente, muestra que en el limite cuando el cubo se hace muy pequeño se tiene $\iint \vec{F}\cdot \hat{n}dS=\left(M_x+N_y+P_z\right)\Delta V=(\nabla \cdot \vec{F})\Delta V$ 6) Si ahora tienes una superficie grande, muestra que al dividirla en pequeños cuadritos y al sumar las integrales de superficie sobre cada una de ellas se obtiene $\iint \vec{F}\cdot \hat{n}dS={\iiint }_V(\nabla \cdot \vec{F})\mathrm{d}V$ Este resultado es el Teorema de Gauss. Observa que el inciso 6 propone una definición de la divergencia de un campo. 7) Para el caso del campo magnético sabemos que el flujo sobre una superficie es cero. ¿Qué se concluye sobre la divergencia del campo magnético? 8) Calcular las siguientes integrales de superficie considerando el campo vectorial proporcionado y la superficie dada a) $\vec{F}=2\hat{ı}+3\hat{j}+8z\hat{k}$ con $S$ la superficie de un cubo de lados $2,4,6$ b) $\vec{F}=5x\hat{ı}-2y\hat{ȷ}+8z^2\hat{k}$ con $S$ la superficie definida por $x^2+y^2+z^2=4$ c) $\vec{F}=\left(2x^3+3y\right)\hat{ı}+\left(4-y^3\right)\hat{ȷ}+z^3\hat{k}$ con $S$ la superficie definida por $x^2+y^2+z^2=1$