Pregunta: Considera la transformación de Möbius μ:C→C definida por la regla de correspondenciaμ(z)=z-iz+i.a) Demuestra que |μ(z)|≤1 si y sólo si Im(z)≥0 e interpreta geométricamente lo que esto te dice sobre la acción de μ en el plano complejo.Decimos que dos funciones complejas f:C→C y g:C→C son conjugadas si existe una función biyectiva h:C→C tal

Considera la transformaci$ó$n de M$ö$bius $\mu$:$C\to C$ definida por la regla de correspondencia

$\mu (z)=\frac{z-i}{z+i}.$

a$)$ Demuestra que $|\mu (z)|\le 1$ si y s$ó$lo si $Im(z)\ge 0$ e interpreta geom$é$tricamente lo que esto te dice sobre la acci$ó$n de $\mu$ en el plano complejo.

Decimos que dos funciones complejas $f$:$C\to C$ y $g$:$C\to C$ son conjugadas si existe una funci$ó$n biyectiva $h$:$C\to C$ tal que

$(h$@$f)(z)=(g$@$h)(z),$AAzinC

b$)$ Demuestra que la conjugaci$ó$n y la inversi$ó$n respecto a la circunferencia unitaria son transformaciones conjugadas. $($Sugerencia:Usa el ejercicio $7a$ de acuerdo a la interpretaci$ó$n geom$é$trica que realizaste.$)$

c$)$ Consideremos la funci$ó$n $T$:$C\to C$ cuya regla de correspondencia es:

$T(z)=\frac{(-1+2i)z+1}{-z+(1+2i)}$

Demuestra que la funci$ó$n $T$ preserva el disco unitario, para ello demuestra que es conjugada a una funci$ó$n $\tau$:$C\to C$ que preserva el semiplano superior.