Resuelto Consider the following sequences P-9.1 Find A and B | Chegg.com.mx

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Pregunta: Consider the following sequences P-9.1 Find A and B such that 1/[(n−1)n] = A/[n−1] + B/n . Use this result to show that v_n = 2 − 1/n . P-9.2 Show that u_n ≤ v_n for any n ∈ N. P-9.3 Show that the

Consider the following sequences

P-9.1 Find A and B such that 1/[(n−1)n] = A/[n−1] + B/n . Use this result to show that v_n = 2 − 1/n .

P-9.2 Show that u_n ≤ v_n for any n ∈ N.

P-9.3 Show that the sequence u_n is increasing.

P-9.4 Conclude on the convergence of the sequence u_n .

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Solución
Paso 1
We are given two sequences:

$\begin{matrix} \begin{aligned} u_{1} & = 1 \\ u_{n} & = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \dots \dots . . + \frac{1}{n^{2}}; n \geq 2 \end{aligned} \end{matrix}$
and

$\begin{matrix} \begin{aligned} v_{1} & = 1 \\ v_{n} & = 1 + \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \dots \dots + \frac{1}{(n - 1) \times n}; n \geq 2 \end{aligned} \end{matrix}$

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Considere las siguientes sucesiones P-9.1 Encuentre

A

y

B

tales que

\frac{1}{( n - 1 ) n} = \frac{A}{n - 1} + \frac{B}{n}

. Utilice este resultado para mostrar que

v_{n} = 2 - \frac{1}{n}

. P-9.2 Muestre que

u_{n} \leq v_{n}

para cualquier

n \in N

. P-9.3 Muestre que la sucesión

u_{n}

es creciente. P-9.4 Concluya sobre la convergencia de la sucesión

u_{n}

.