Pregunta: Coeficiente de correlación 376. Demuestre nuevamente que −1≤ρ(X,Y)≤1, ahora a partir de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Sean $\mathrm{X}$ y $\mathrm{Y}$ dos variables aleatorias. Se quiere probar que $-1<\rho (\mathrm{X},\mathrm{Y})<1$ o a lo que es similar:

$\left|\rho (\mathrm{X},\mathrm{Y})\right|<1$ .

Donde $\rho (\mathrm{X},\mathrm{Y})=\frac{\mathrm{E}\left((\mathrm{X}-\mathrm{E}\left(\mathrm{X}\right))(\mathrm{Y}-\mathrm{E}\left(\mathrm{Y}\right))\right)}{\sqrt{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\left(\mathrm{X}\right)\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\left(\mathrm{Y}\right)}}$ .