Pregunta: En la tarea 2 se encontró una expresión para los operadores L^x,L^y y L^z. En el contexto de la Mecánica Cuántica decimos que los operadores L^x,L^y y L^z se escriben de esa forma en la representación (o base) de las coordenadas. a) Muestre que el operador L^2 es L^2=−ℏ2[sinθ1∂θ∂(sinθ∂θ∂)+sin2θ1∂ϕ2∂2] Esta es la representación del operador L^2 en la base de

En la tarea 2 se encontró una expresión para los operadores ${\hat{L}}_x,{\hat{L}}_y$ y ${\hat{L}}_z$. En el contexto de la Mecánica Cuántica decimos que los operadores ${\hat{L}}_x,{\hat{L}}_y$ y ${\hat{L}}_z$ se escriben de esa forma en la representación (o base) de las coordenadas. a) Muestre que el operador ${\hat{L}}^2$ es ${\hat{L}}^2=-{\hslash }^2\left[\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta }\right)+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}\right]$ Esta es la representación del operador ${\hat{L}}^2$ en la base de las coordenadas. b) Encuentre ${\hat{L}}^2{Y}_l^m(\theta ,\varphi )$ y muestre entonces que ${\hat{L}}^2{Y}_l^m(\theta ,\varphi )={\hslash }^{2}l(l+1)Y_l^m(\theta ,\varphi )$. c) Encuentre ${\hat{L}}_z{Y}_l^m(\theta ,\varphi )$ y muestre entonces que ${\hat{L}}_z{Y}_l^m(\theta ,\varphi )=\hslash m{Y}_l^m(\theta ,\varphi )$. Los ejercicios anteriores muestran que los armónicos esféricos son eigenfunciones de los operadores ${\hat{L}}^2$ y ${\hat{L}}_z$ con eigenvalores ${\hslash }^{2}l(l+1)$ y $\hslash m$ respectivamente. La teoría de Sturm-Liouville asegura que los armónicos esféricos constituyen una base completa de las funciones $f(\theta ,\varphi )$. Este conocimiento será de mucha utilidad en su curso de Mecánica Cuántica en el sentido que podrá determinar trivialmente los valores de expectación de diversas cantidades físicas u observables. En la Mecánica Cuántica se define los operadores de momento angular como: $\begin{array}{l}{\hat{L}}_x=\frac{\hslash }{i}\left(y\frac{\partial }{\partial z}-z\frac{\partial }{\partial y}\right)\\ {\hat{L}}_y=\frac{\hslash }{i}\left(z\frac{\partial }{\partial x}-x\frac{\partial }{\partial z}\right)\\ {\hat{L}}_z=\frac{\hslash }{i}\left(x\frac{\partial }{\partial y}-y\frac{\partial }{\partial x}\right)\end{array}$ $\begin{array}{c}{\hat{L}}_x=\frac{\hslash }{i}\left(-\mathrm{sen}(\varphi )\frac{\partial }{\partial \theta }-\cos (\varphi )\cot (\theta )\frac{\partial }{\partial \varphi }\right)\\ {\hat{L}}_y=\frac{\hslash }{i}\left(\cos (\varphi )\frac{\partial }{\partial \theta }-\mathrm{sen}(\varphi )\cot (\theta )\frac{\partial }{\partial \varphi }\right)\\ {\hat{L}}_z=\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial \varphi }\end{array}$