Pregunta: Problema 3. Campo auxiliar H y medios magnéticos. Considera un medio magnético con un momento dipolar magnético por unidad de volúmen M(r′), tal que el potencial vectorial generado por este medio es: A(r)=∫∣r−r′∣3M(r′)×(r−r′) (a) Muestra que este potencial es equivalente al generado por una densidad de corriente volumétrica Jv=c(∇×M) y una densidad de

Problema 3. Campo auxiliar H y medios magnéticos. Considera un medio magnético con un momento dipolar magnético por unidad de volúmen $\mathbf{M}\left({\mathbf{r}}^{\prime }\right)$, tal que el potencial vectorial generado por este medio es: $\mathbf{A}(\mathbf{r})=\int \frac{\mathbf{M}\left({\mathbf{r}}^{\prime }\right)\times \left(\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }\right)}{{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}^3}$ (a) Muestra que este potencial es equivalente al generado por una densidad de corriente volumétrica ${\mathbf{J}}_v=c(\nabla \times \mathbf{M})$ y una densidad de corriente superficial ${\mathbf{J}}_s=c(\mathbf{M}\times \mathbf{n})$ donde $\mathbf{n}$ es el vector normal al medio magnético. (Clave: usa la identidad ${\nabla }_r({\left|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }\right|}^{-1}=-{\nabla }_{r^{\prime }}\left({\left|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }\right|}^{-1}\right)$ e integración por partes. $)$ Considera ahora que, además de este medio magnético, existe una corriente externa ${\mathbf{J}}_{\text{free }}$. Usando la ley de Ampére y el principio de superposición el campo magnético total es: $\nabla \times \mathbf{B}=\frac{4\pi }{c}\left({\mathbf{J}}_{\text{free }}+{\mathbf{J}}_{\text{bound }}\right)$ donde la corriente ligada es, efectivamente, aquella creada por material ${\mathbf{J}}_{\text{bound }}=c(\nabla \times \mathbf{M})$. Esto nos permite definir un campo auxiliar $\mathbf{H}=\mathbf{B}-4\pi \mathbf{M}$ tal que: $\nabla \times \mathbf{H}=\frac{4\pi }{c}{\mathbf{J}}_{\text{free }}.$ Para medios diamagnéticos y paramagnéticos suponemos que la magnetización es proporcional al campo magnético $\mathbf{M}\propto \mathbf{B}$ tal que $\mathbf{B}=\left(1+4\pi {\chi }_m\right)\mathbf{H}=\mu \mathbf{H},$ con ${\chi }_m$ la susceptibilidad magnética y $\mu$ la permeabilidad magnética. b) Escribe la susceptibilidad magnética para tres medios diamagnéticos y para tres medios paramagnéticos. ¿Cuál es la diferencia entre ambos tipos de medio? c) Encuentra las condiciones a la frontera que satisface las componentes normales y tangenciales del campo auxiliar $\mathbf{H}$ en presencia de una superficie con densidad superficial de corriente libre ${\mathbf{k}}_{\text{free }}$.