Pregunta: 5. Considere el hamiltoniano H de una partícula en un problema unidimensional definido por H=2m1P2+V(X) donde X y P son los operadores posición y momento, los cuales satisfacen la relación [X,P]=iℏ Los eigenvectores de H estan denotados por ∣ϕn⟩ : H∣ϕn⟩=En∣ϕn⟩ donde n es un índice discreto. a) Muestra que ⟨ϕn∣P∣ϕn⟩=α⟨ϕn∣X∣ϕn⟩ donde α es un coeficiente que

5. Considere el hamiltoniano $H$ de una partícula en un problema unidimensional definido por $H=\frac{1}{2m}{P}^2+V(X)$ donde $X$ y $P$ son los operadores posición y momento, los cuales satisfacen la relación $[X,P]=i\hslash$ Los eigenvectores de $\mathrm{H}$ estan denotados por $|{\varphi }_n⟩$ : $H|{\varphi }_n⟩=E_n|{\varphi }_n⟩$ donde $\mathrm{n}$ es un índice discreto. a) Muestra que $⟨{\varphi }_n|P|{\varphi }_n⟩=\alpha ⟨{\varphi }_n|X|{\varphi }_n⟩$ donde $\alpha$ es un coeficiente que depende de la diferencia entre $E_n$ y $E_{n^{\prime }}$. Calcula $\alpha$. (Hint: considera el conmutador $[X,H]$ ). b) De esto, deduzca a partir de la relación de completez la ecuación ${\sum }_{n^{\prime }}{\left(E_n-E_{n^{\prime }}\right)}^2{\left|⟨{\varphi }_n|X|{\varphi }_n⟩\right|}^2=\frac{{\hslash }^2}{m^2}⟨{\varphi }_n\left|P^2\right|{\varphi }_n⟩$