Pregunta: c) Encuentra las componentes contravariantes del tensor de campo Fμu  y las componentesmixtas F?u ?(μ) utilizando que la métrica del espacio es la métrica de Minkowski. Exprésalasen un arreglo matricial.d) Definimos la 4-corriente fuente de campo electromagnético como el campo vectorialj=ρdelt+Jxdelx+Jydely+Jzdelz o bien, jμ=(ρ,Jx,Jy,Jz). Muestra que

 c$)$ Encuentra las componentes contravariantes del tensor de campo $F^{\mu }$

$u$  y las componentes

mixtas $F_{?}$

$u{?}^{(}\mu )$ utilizando que la m$é$trica del espacio es la m$é$trica de Minkowski. Expr$é$salas

en un arreglo matricial.

d$)$ Definimos la $4-$corriente fuente de campo electromagn$é$tico como el campo vectorial

$j=\rho de{l}_t+J^{x}de{l}_x+J^{y}de{l}_y+J^{z}de{l}_z$ o bien, $j^{\mu }=(\rho ,J^x,J^y,J^z).$ Muestra que las ecuaciones

de Maxwell con fuentes ${?}^1$ se obtienen a partir de su formulaci$ó$n covariante

$de{l}_{?}$

$u{F}^{\mu }$

$u=j^{\mu }.$El campo tensorial de intensidad de campo electromagn$é$tico est$á$ dado por un tensor tipo

$(0,2).$ Siendo un campo tensorial con dos $í$ndices podemos expresar sus componentes por

medio de una matriz $($recordar que un tensor no es una matriz, solamente que en el caso de

un tensor de rango $2,$ dos $í$ndices$,$ podemos arreglar sus comoponentes en una matriz para

expresarlas de manara m$á$s compacta$).$ En una base coordenada cartesiana las componentes

son $($usaremos $\mu =t,x,y,z,$ como etiquetas para las componentes$)$

$F_{\mu }$

$u=([0,-E_x,-E_y,-E_z],[E_x,0,B_z,-B_y],[E_y,-B_z,0,B_x],[E_z,B_y,-B_x,0]),$

donde $\mu$ corresponde a los renglones y

$u$  a las columnas. Contesta lo siguiente:

a$)¿$Qu$é$ propiedad de simetr$í$a tiene este tensor?, es decir, $¿$es sim$é$trico$,$ antisim$é$trico o

ninguna de las dos opciones?

b$)$ Muestra que las ecuaciones dos ecuaciones de Maxwell sin fuentes en su formulaci$ó$n

no$-$covariante ${?}^1$ se obtienen a partir de su formulaci$ó$n covariante

$de{l}_{[\mu )F_{?}}$

$u\lambda =0$

Considerando la propiedad de simetr$í$a de $F_{\mu }$

$u$  es f$á$cil ver que estas ecuaciones se pueden

expresar de manera equivalente como

$de{l}_{\mu }{F}_{?}$

$u\lambda +de{l}_{?}$

$u{F}_{\lambda \mu }+de{l}_{\lambda }{F}_{\mu }$

$u=0$

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