Pregunta: Arturo está estudiando un sistema de competencia de Lotka-Volterra, que consiste en el sistema de EDO de primer orden definido pordxdt=0.2x-0.004x2-0.003xydydt=0.1y-0.001y2-0.003xyDonde las variables x(t) y y(t) representan las poblaciones de leones macho y hienas, respectivamente, medidos en decenas, al tiempo t (medidoen años). Él sabe que al inicio,

Arturo est$á$ estudiando un sistema de competencia de Lotka$-$Volterra, que consiste en el sistema de EDO de primer orden definido por

$\frac{dx}{dt}=0\mathrm{.}2x-0\mathrm{.}004x^2-0\mathrm{.}003xy$

$\frac{dy}{dt}=0\mathrm{.}1y-0\mathrm{.}001y^2-0\mathrm{.}003xy$

Donde las variables $x(t)$ y $y(t)$ representan las poblaciones de leones macho y hienas, respectivamente, medidos en decenas, al tiempo $t($medido

en a$ñ$os$).É$l sabe que al inicio, hay $80$ leones macho y $160$ hienas, pero no sabe de sistemas din$á$micos$,$ por lo que te pide tu ayuda para resolver esta

problem$á$tica$,$ pues quiere hacer predicciones de ambas poblaciones a corto, mediano y largo plazo. Tambi$é$n quiere ver qu$é$ especie termina

ganando la competencia o si van a coexistir.

Genera un reporte donde le ayudes a Arturo a observar el comportamiento de las especies a trav$é$s del tiempo, que incluya:

Menciona c$ó$mo obtendr$í$as la soluci$ó$n anal$í$tica de este SEDO usando software. $¿$Encontraste alguna soluci$ó$n$?$

Sugerencia: Aqu$í$ debes indicar cu$á$l software usar$í$as y qu$é$ funci$ó$n usar$í$as para hacerlo. Se sugiere que documentes lo que ocurre cuando

tratas de encontrar la soluci$ó$n anal$í$tica e interpretes el resultado.

En dado caso que no se pueda obtener la soluci$ó$n anal$í$tica$,$ deber$í$amos usar un m$é$todo num$é$rico$.$ Menciona qu$é$ opciones tienes para elegir

$($puedes remitirte a los vistos en clase$)$ e indica cu$á$l de ellos eliges implementar y por qu$é.$

Indica claramente cu$á$les son las ecuaciones que se utilizan en ese m$é$todo num$é$rico$,$ para este SEDO de primer orden. Esto es$,$ cu$á$les son las

ecuaciones que vas a implementar, as$í$ como el tama$ñ$o del paso a usar.

Sugerencia: puedes documentar esta respuesta indicando una parte del c$ó$digo que hayas utilizado para implementar el m$é$todo num$é$rico$.$

Reporta el comportamiento de las poblaciones en un periodo de $150$ a$ñ$os$.¿$Qu$é$ sucede con las poblaciones: coexisten o se extingue una de

ellas? $¿$Cu$á$l$?$

Sugerencia: Genera una gr$á$fica que permita ver el comportamiento de las poblaciones en dicho periodo de tiempo. Recuerda indicar

claramente los elementos de la gr$á$fica$,$ como el t$í$tulo y las etiquetas de los ejes. Si usas un solo gr$á$fico$,$ indicar la leyenda y usar colores.

Reporta la cantidad de leones macho y de hienas despu$é$s de $50$ a$ñ$os$.$

En dado caso que hayas encontrado la soluci$ó$n anal$í$tica$,$ compara las gr$á$ficas obtenidas y determina si hay diferencias en las estimaciones de las

poblaciones al cabo de un a$ñ$o$.$ Si no se encontr$ó$ la soluci$ó$n anal$í$tica$,$ omitir este punto.