Pregunta: (a) Al escribir la distribución discreta de Maxwell-Boltzmann para los osciladores de pared de la cavidad de Planck como Nn=Ae-EnkT (donde A es una constante por determinar), demuestre que la condición ∑n=0∞NnconA=N(1-e-εKT) como en la ecuación Nn=N(1-e-εKT)e-nεKT. [Sugerencia: utilice ∑n=0∞enx=(1-ex)-1 ]. (b) Tomando la derivada con respecto a x de la

$($a$)$ Al escribir la distribuci$ó$n discreta de Maxwell$-$Boltzmann para los osciladores de pared de la cavidad de Planck como $N_n=A{e}^{-\frac{E_n}{kT}}($donde A es una constante por determinar$),$ demuestre que la condici$ó$n ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}{N}_n$conA$=N(1-e^{-\frac{\epsilon }{KT}})$ como en la ecuaci$ó$n $N_n=N(1-e^{-\frac{\epsilon }{KT}})e^{-\frac{n\epsilon }{KT}}.[$Sugerencia: utilice ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}{e}^{nx}=(1-e^x{)}^{-1}].($b$)$ Tomando la derivada con respecto a $x$ de la ecuaci$ó$n dada en la sugerencia, demuestre que ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}n{e}^{nx}=\frac{e^x}{(1-e^x{)}^2}.($c$)$ Utilice este resultado para derivar la ecuaci$ó$n $E_{av}=\frac{\epsilon }{e^{\frac{\epsilon }{KT}-1}}=\frac{hf}{e^{\frac{hf}{KT}}-1}=\frac{\frac{hc}{\lambda }}{e^{\frac{hc}{\lambda KT}}-1}$ de la ecuaci$ó$n $E_{Av}=\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}{N}_n{E}_n=(1-e^{-\frac{\epsilon }{KT}}){\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}(n\epsilon )e^{-\frac{n\epsilon }{KT}}.($d$)$ Demuestre que $E_{av}$~$=kT$ para $\lambda$ grande y $E_{av}\to 0$ para $\lambda$ peque$ñ$o$.$