Pregunta: Actividad 7. Interés compuesto y el número e. Fue en el contexto de préstamos y tasas de interés que Jacob Bernoulli "descubrió" el número e. Supongamos que invertimos 1 peso a unatasa de interés anual r>0. Sea t el tiempo en años y consideremos el capital al final del año como función de la tasa de interés, bajo diferentes formas de

Actividad $7.$ Inter$é$s compuesto y el n$ú$mero $e.$ Fue en el contexto de pr$é$stamos y tasas de inter$é$s que Jacob Bernoulli "descubri$ó"$ el n$ú$mero $e.$ Supongamos que invertimos $1$ peso a una

tasa de inter$é$s anual $r>0.$ Sea $t$ el tiempo en a$ñ$os y consideremos el capital al final del a$ñ$o como funci$ó$n de la tasa de inter$é$s$,$ bajo diferentes formas de capitalizaci$ó$n$.$

Si la tasa de inter$é$s se aplica una $ú$nica vez, al finalizar el a$ñ$o$,$ tendremos $I_1(r)=(1+r).$ Si su banco usa la tasa de inter$é$s $\frac{r}{2}($correspondiente a medio a$ñ$o$)$ pero la aplica dos veces $($a

mitad y final de a$ñ$o$),$ entonces su capital final ser$á$

$I_2(r)=(1+\frac{r}{2}{)}^2$

En general, argumente que si el banco usa una tasa de inter$é$s $\frac{r}{n}$ pero la aplica $n$ veces en el a$ñ$o$,$ entonces el capital final como funci$ó$n de $r$ es

$I_n(r)=(1+\frac{r}{n}{)}^n$

Por ejemplo, calcule cu$á$l es el capital al final del a$ñ$o si la tasa de inter$é$s $r$ es del $1\%,$ y bajo dos casos: capitalizando cada mes, y capitalizando cada semana. $¿$Con cu$á$l es mayor el capital?

Haga gr$á$ficas de la funci$ó$n $I_n(r)$ para diferentes valores de $n,$ y comp$á$relas con la funci$ó$n $I(r)=e^r.¿$Qu$é$ observa? Interprete.

Ahora vamos a demostrar que en efecto, $I_n(r)$ tiende a $e^r$ a medida que $n\to \infty .$ Para esto haga $m=\frac{n}{r}$ y escriba la expresi$ó$n de $I_n(r)$ en t$é$rminos de $m$ y $r.$ Luego use el l$í$mite $($XXX$)$ para

concluir.

R$ú$brica$.$ Argumenta de manera coherente y completa por qu$é$ la f$ó$rmula de $I_n$ est$á$ dada por la expresi$ó$n propuesta $(30\%).$ Resuelve y analiza correctamente el ejemplo propuesto $(20\%).$

Hace las gr$á$ficas de $I_n$ para valores de $n$ y las explica de manera completa y coherente $(20\%).$ Argumenta correctamente porqu$éI_n(r)$ se aproxima a $I(r)$ cuando $n\to \infty (30\%).$