8. Sea V un espacio de Hilbert. Suponga que B={x1,x2,…,xn} es una base ortonormal para el subespacio n-dimensional H de V. Sea P:V→H el operador definido por Pu=∑j=1n⟨u,xj⟩xj. a) Pruebe que P es lineal y continuo. b) Pruebe que P2=P. Recuerde que P2=P∘P es la composición de operadores. c) Si H=R(P), demuestre que R(P)⊥N(P).

Suma de funciones continuas es continua: En todo espacio de Hilbert el producto interno f(x,y)= es continua,...

Resuelto 8. Sea V un espacio de Hilbert. Suponga que

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Pregunta: 8. Sea V un espacio de Hilbert. Suponga que B={x1,x2,…,xn} es una base ortonormal para el subespacio n-dimensional H de V. Sea P:V→H el operador definido por Pu=∑j=1n⟨u,xj⟩xj. a) Pruebe que P es lineal y continuo. b) Pruebe que P2=P. Recuerde que P2=P∘P es la composición de operadores. c) Si H=R(P), demuestre que R(P)⊥N(P).
Pregunta 8

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Suma de funciones continuas es continua:

En todo espacio de Hilbert el producto interno $f (x, y) =< x, y >$ es continua,...
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8. Sea

V

un espacio de Hilbert. Suponga que

B = {x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}

es una base ortonormal para el subespacio

n

-dimensional

H

V

. Sea

P : V \to H

el operador definido por

P u = \sum_{j = 1}^{n} ⟨ u, x_{j} ⟩ x_{j}

. a) Pruebe que

P

es lineal y continuo. b) Pruebe que

P^{2} = P

. Recuerde que

P^{2} = P \circ P

es la composición de operadores. c) Si

H = R (P)

, demuestre que

R (P) ⊥ N (P)