Pregunta: 6.4 EjerciciosPrueba Sean A y B matrices semejantes. Demuestreque AT y BT son semejantes, si A es no singular, entoncestambién B es no singular y A-1 y B-1 son semejantes.Prueba Sea A=CD, donde C es una matriz invertiblede n×n. Demuestre que la matriz DC es semejante a A.Prueba Sea B=P-1AP, donde A=[aij],P=[pij] y Bes una matriz diagonal con

$6\mathrm{.}4$ Ejercicios

Prueba Sean $A$ y $B$ matrices semejantes. Demuestre

que $A^T$ y $B^T$ son semejantes, si $A$ es no singular, entonces

tambi$é$n $B$ es no singular y $A^{-1}$ y $B^{-1}$ son semejantes.

Prueba Sea $A=CD,$ donde $C$ es una matriz invertible

de $n\times n.$ Demuestre que la matriz $DC$ es semejante a $A.$

Prueba Sea $B=P^{-1}AP,$ donde $A=[a_{ij}],P=[p_{ij}]$ y $B$

es una matriz diagonal con elementos de diagonal prin$-$

cipal $b_{11},b_{22},$dots,$b_{mn}.$ Demuestre que

$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \text{d}\text{o}\text{t}\text{s}& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \text{d}\text{o}\text{t}\text{s}& a_{2n}\\ \text{v}\text{d}\text{o}\text{t}\text{s}& \text{v}\text{d}\text{o}\text{t}\text{s}& \text{v}\text{d}\text{o}\text{t}\text{s}& ?\\ a_{n1}& a_{n2}& \text{d}\text{o}\text{t}\text{s}& a_{\cap }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{p}_{1i}\\ p_{2i}\\ \text{v}\text{d}\text{o}\text{t}\text{s}\\ p_{ni}\end{array}\right]=b_{ii}\left[\begin{array}{c}{p}_{1i}\\ p_{2i}\\ \text{v}\text{d}\text{o}\text{t}\text{s}\\ p_{ni}\end{array}\right]$

para $i=1,2,$dots,$n.$

Escriba Sea $B=\{v_1,v_2,$dots,$v_n\}$ una base del espacio

vectorial $V,$ sea $B^{\text{'}}$ la base est$á$ndar y considere la trans$-$

formaci$ó$n identidad I:$V\to V.¿$Qu$é$ puede decir acerca

de la matriz para I respecto a $B?¿$Respecto a $B^{\text{'}}?$

$¿$Cu$á$ndo el dominio tiene la base $B$ y el rango tiene la

base $B^{\text{'}}?$

$($a$)$ Dadas dos bases $B$ y $B^{\text{'}}$ para un espacio vectorial $V$

y la matriz A para la transformaci$ó$n lineal $T$ :

respecto a $B,$ explique c$ó$mo obtener la ma

coordenadas $[T(v){]}_{B^{\text{'}}}$ de la matriz de coord

$[v{]}_{B^{\text{'}}},$ donde $v$ es un vector en $V.$

$($b$)$ Expljque c$ó$mo deterpinar si dos matrice cuadra$-$

das $A$ y $A^{\text{'}}$ de orden $n$ son similares.Prizetza Sea $B=P^{-1}A{P}_{\text{;}},$ dontle $A=[a_{ij}],P=[p_{ij}]$ y $B$

es una matriz diagonal con elementos de diagonal prin$-$

cipal $b_{U.}{b}_{22},$dots,$b_{mm}.$ Demtestre que

$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \text{d}\text{o}\text{t}\text{s}& a_{in}\\ a_{91}& a_{12}& \text{d}\text{o}\text{t}\text{s}& a_{a_{\cap }}\\ \text{v}\text{d}\text{o}\text{t}\text{s}& \text{v}\text{d}\text{o}\text{t}\text{s}& \text{v}\text{d}\text{o}\text{t}\text{s}& ?\\ n_{n1}& a_{n2}& \text{d}\text{o}\text{t}\text{s}& a_{\cap }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{p}_{n_1}\\ p_{2i}\\ \text{v}\text{d}\text{o}\text{t}\text{s}\\ p_{ni}\end{array}\right]=b_{i1}\left[\begin{array}{c}{p}_{{?}_{in}}\\ P_{31}\\ \text{v}\text{d}\text{o}\text{t}\text{s}\\ p_{ni}\end{array}\right]$

para $i=1,2,$dotsn.