Pregunta: 6. Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria de tamaño n de una variable aleatoria X, con densidad fX(x;θ)={θ22x00

6. Sea $X_1,X_2,\dots ,X_n$ una muestra aleatoria de tamaño $n$ de una variable aleatoria $X$, con densidad $f_X(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{2x}{{\theta }^2}& 0<x\le \theta \\ 0& \text{ E.O.C }\end{array}$ (a) Hallar el estimador de máxima verosimilitud de $\theta$ (b) ¿El estimador es insesgado?, si no lo es, ¿cómo lo convierte en un estimador insesgado? (c) Calcule el estimador de máxima verosimilitud de la mediana de la distribución. Hint : La mediana es el valor que cumple que la distribución es igual a $1/2\left(F_X(x)=1/2\right)$. 7. Sea $X_1,X_2,\dots ,X_n$ una muestra aleatoria de tamaño $n$ de una variable aleatoria $X$, distribución exponencial de parámetro $\theta >0$. Encuentre el estimador de máxima verosimilitud de $P(X\le 2)$ Cómo se garantizaría que efectivamente es máximo 8. Sea $X_1,X_2,\dots ,X_n$ una muestra aleatoria de tamaño $n$ de una variable aleatoria $X$, distribución Poisson de parámetro $\theta >0$. Restringimos el parámetro $\theta$ de tal forma que $0<\theta \le 2$. Encuentre el estimador de máxima verosimilitud de $\theta$ Hint $:{\hat{\theta }}_{MLE}=\min \{\bar{X},2\}$