6. La variable aleatoria X tiene una función de densidad f(x) = (ax + bx2 0 < x < 1 0 de lo contrario, para algunas constantes a, b ∈ R. Suponga que E(X) = 0.6. (i) Halle P(X < 1/2) (ii) Encuentre Var(X).

Como tenemos función de densidad f(x)=ax+bx^2 para 0<x<1 y f(x)=0 en otro caso entonces Luego

Resuelto 6. La variable aleatoria X tiene una función de

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Pregunta: 6. La variable aleatoria X tiene una función de densidad f(x) = (ax + bx2 0 < x < 1 0 de lo contrario, para algunas constantes a, b ∈ R. Suponga que E(X) = 0.6. (i) Halle P(X < 1/2) (ii) Encuentre Var(X).
6. La variable aleatoria X tiene una función de densidad f(x) = (ax + bx2 0 < x < 1 0 de lo contrario, para algunas constantes a, b ∈ R. Suponga que E(X) = 0.6. (i) Halle P(X < 1/2) (ii) Encuentre Var(X).
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Solución
Paso 1
Como tenemos función de densidad $f (x) = a x + b x^{2}$ para $0 < x < 1$ y $f (x) = 0$ en otro caso entonces

$\begin{matrix} \begin{aligned} E [X] & = \int_{0}^{1} x (a x + b x^{2}) d x \\ E [X] & = \int_{0}^{1} (a x^{2} + b x^{3}) d x \\ E [X] & = (a \frac{x^{3}}{3} + b \frac{x^{4}}{4}) ∣_{0}^{1} \\ E [X] & = \frac{a}{3} + \frac{b}{4} \end{aligned} \end{matrix}$

Luego

$\begin{aligned} \frac{a}{3} + \frac{b}{4} & = 0.6 \end{aligned}$

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