Pregunta: 58. Dados n ⩾ 2 números ( a 1, a 2,…, a n ) sin repeticiones, una muestra de arranque es una secuencia ( x 1, x 2,…, x n ) formada a partir de a j 's mediante muestreo con reemplazo con iguales probabilidades. Las muestras de Bootstrap surgen en un método estadístico ampliamente utilizado conocido como bootstrap . Por ejemplo, si n = 2 y ( a 1, a 2) = (3,

58. Dados n ⩾ 2 números ( a 1, a 2,…, a n ) sin repeticiones, una muestra de arranque es una secuencia ( x 1, x 2,…, x n ) formada a partir de a j 's mediante muestreo con reemplazo con iguales probabilidades. Las muestras de Bootstrap surgen en un método estadístico ampliamente utilizado conocido como bootstrap . Por ejemplo, si n = 2 y ( a 1, a 2) = (3, 1), entonces las posibles muestras de arranque son (3, 3), (3, 1), (1, 3) y (1, 1).

(a) ¿Cuántas muestras de arranque posibles hay para ( a 1,…, a n )?

(b) ¿Cuántas muestras de arranque posibles hay para ( a 1,…, a n ), si el orden no importa (en el sentido de que solo importa cuántas veces se eligió cada a j , no el orden en que fueron elegidos) elegido)?

(c) Se elige una muestra de arranque aleatoria (muestreando de un 1,..., un n con reemplazo, como se describe arriba). Muestre que no todas las muestras de arranque no ordenadas (en el sentido de (b)) son igualmente probables. Encuentre una muestra de bootstrap desordenada b 1 que sea lo más probable posible y una muestra de bootstrap desordenada b 2 que sea lo más improbable posible. Sea p 1 la probabilidad de obtener b 1 y p 2 la probabilidad de obtener b 2 (por lo que p i es la probabilidad de obtener la muestra de arranque desordenada específica b i ). ¿Qué es p 1/ p 2? ¿Cuál es la razón entre la probabilidad de obtener una muestra de arranque desordenada cuya probabilidad es p 1 y la probabilidad de obtener una muestra desordenada cuya probabilidad es p 2?