Pregunta: 4. En muchas aplicaciones interesantes, necesitamos saber qué significa "dos curvas son ortogonales (perpendiculares) entre sí". (a) (1 punto) Comencemos con el caso más simple: líneas perpendiculares. Se sabe que dos líneas en el plano son perpendiculares entre sí si son el par del eje x y el eje y, o si los productos de sus pendientes son iguales a −1. Es

4. En muchas aplicaciones interesantes, necesitamos saber qué significa "dos curvas son ortogonales (perpendiculares) entre sí".

(a) (1 punto) Comencemos con el caso más simple: líneas perpendiculares. Se sabe que dos líneas en el plano son perpendiculares entre sí si son el par del eje x y el eje y, o si los productos de sus pendientes son iguales a −1. Es decir, si las dos líneas están definidas por las siguientes ecuaciones,

y=m1x+b1, y=m2x+b2, (m1,m2 ̸=0), son perpendiculares entre sí si

m1m2 = −1
Ahora, encuentre la ecuación de la línea que es perpendicular a la línea definida por

y = 2x + 1

y pasa por el punto (2, 1).

(b) (2 puntos) Utilizando el concepto de rectas tangentes, podemos generalizar el caso anterior a

cualquier curva en el plano que se encuentra en un punto P. Es decir, decimos que tales curvas son ortogonales (perpendiculares) en el punto P si sus líneas tangentes en el punto P son perpendiculares entre sí.
Justifica que las siguientes dos circunferencias son ortogonales entre sí en un punto que no es el origen.

x ² + y ² = 4x, x ² + y ² = 2y

Es posible que desee dibujar los círculos, pero no se aceptará la justificación gráfica.

para un grado.

(c) (2 puntos) Ahora, hacemos una generalización adicional: decimos que una curva C es ortogonal a

una colección (familia) de curvas si C es ortogonal a cada curva en esta colección donde se encuentran.
Justifique que la línea recta y = x es ortogonal al conjunto de todos los círculos concéntricos definidos por

x ² + y2 ² = r ^{​​​​​​​2} , donde r es cualquier número real positivo.

2

Es posible que desee dibujar los círculos y la línea, pero no se aceptará la justificación gráfica para una calificación.