Pregunta: 4. Denotemos por S(t) el precio de una opción de cierto activo en el tiempo t. Una forma de describir el proceso del valor del mismo es a tráves del proceso estocástico {S(t),t≤0}, donde supondremos que el precio de mantiene constante hasta que se presenta algún evento macroeconómico. CAPÍTULO 3. PROCESOS DE POISSON Una vez presentado dicho evento, el precio

4. Denotemos por $S(t)$ el precio de una opción de cierto activo en el tiempo $t$. Una forma de describir el proceso del valor del mismo es a tráves del proceso estocástico $\{S(t),t\le 0\}$, donde supondremos que el precio de mantiene constante hasta que se presenta algún evento macroeconómico. CAPÍTULO 3. PROCESOS DE POISSON Una vez presentado dicho evento, el precio cambia (es cambio se puede representar como el producto del precio anterior por un factor aleatorio). Si denotamos por $N(t)$ el número de eventos macroeconómicos que se presentan hasta el tiempo $t$ y sea $X_i$ la variable aleatoria que denota el $i$-ésimo factor que se multiplica. Entonces: $S(t)=S(0){\prod }_{i=1}^{N(t)}{X}_i$ con ${\prod }_{i=1}^{N(t)}{X}_i=1$ cuando $N(t)=0$. Suponga que las variables aleatorias $X_i$ son independientes y que siguen una distribución exponencial con parámetro $\mu$ y considere un precio inicial de $S_0$. A partir de lo anterior calcule: a) $\mathbb{E}[S(t)]$. b) $\mathbb{E}\left[S^2(t)\right]$.