Pregunta: 33. Sea {xn} una sucesión en la recta real cuyo rango R0 es acotado. Definamos la familia contable. de conjuntos {R0,R1,…} tal que ∀n∈N:Rn es el rango de la sucesión {xm,xn+1,…}. Construyamos un par de sucesiones reales {yn},{zn} tales que ∀n∈N:yn=infRn,zn=supRn Demuéstrese que ambas convergen. Limites inferior y superior de oscilación de {xn} se definen y

33. Sea $\left\{x_n\right\}$ una sucesión en la recta real cuyo rango $R_0$ es acotado. Definamos la familia contable. de conjuntos $\left\{R_0,R_1,\dots \right\}$ tal que $\forall n\in N:R_n$ es el rango de la sucesión $\left\{x_m,x_{n+1},\dots \right\}$. Construyamos un par de sucesiones reales $\left\{y_n\right\},\left\{z_n\right\}$ tales que $\forall n\in N:y_n=\inf R_n,z_n=\sup R_n$ Demuéstrese que ambas convergen. Limites inferior $y$ superior de oscilación de $\left\{x_{\mathrm{n}}\right\}$ se definen y se escriben respectivamente $\underline{\lim }{x}_n=\lim y_n,\overline{\lim }{x}_n=\lim z_n$ Probar que $\left\{x_n\right\}$ es convergente si y sólo si sus limites de oscilación son iguales, en cuyo caso, ese es el limite de $\left\{x_{\infty }\right\}$.