Pregunta: 3. Considere la sucesión de funciones fn:[0,1]→R definida como fn(x)=1+nxnx para n≥1. (a) Demuestre que la sucesión tiene un límite puntal. Calcular el límite. (b) Demuestre que la sucesión de funciones fn′(x) también tiene un límite puntual y calcularlo. (c) Demuestre que la sucesión de números an=∫01fn(x)dx converge. Determine el límite. 4. Considere la

3. Considere la sucesión de funciones $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$ definida como $f_n(x)=\frac{nx}{1+nx}$ para $n\ge 1$. (a) Demuestre que la sucesión tiene un límite puntal. Calcular el límite. (b) Demuestre que la sucesión de funciones $f_n^{\prime }(x)$ también tiene un límite puntual y calcularlo. (c) Demuestre que la sucesión de números $a_n={\int }_0^1{f}_n(x)dx$ converge. Determine el límite. 4. Considere la sucesión de funciones $f_n:(0,1)\to \mathbb{R}$ definida como $f_n(x)=\frac{nx}{n{x}^2+1}$ para $n\ge 1$. Demuestre que la sucesión tiene un límite puntual y calcule dicho límite. ¿La sucesión $f_n^{\prime }(x)$ tiene un límite puntual? Justifique su respuesta.