Pregunta: 26.12. El índice de siniestralidad para un conjunto de pólizas de seguro durante un período de prima única se define comoR=SG dóndeS son reclamaciones agregadas yC son las primas agregadas. Asumir queG=p1E[N](1+0),0>0 . a. Muestra esaE[R]=(1+θ)-1 y esoVar(R)=E[N]Var(x)+p12Var(N)[p1E[N](1+θ)]2. b. Desarrollar una expresión paraVar(K) si yo)N tiene

$26\mathrm{.}12.$ El $í$ndice de siniestralidad para un conjunto de p$ó$lizas de seguro durante un per$í$odo de prima $ú$nica se define comoR$=\frac{S}{G}$ d$ó$nde$S$ son reclamaciones agregadas y$C$ son las primas agregadas. Asumir queG$=p_{1}E[N](1+0),0>0.$ a$.$ Muestra esaE$[R]=(1+\theta {)}^{-1}$ y esoVar$(R)=\frac{E[N]Var(x)+p_1^2\text{V}\text{a}\text{r}(N)}{[p_{1}E[N](1+\theta ){]}^2}.$ b$.$ Desarrollar una expresi$ó$n paraVar$(K)$ si yo$)N$ tiene una distribuci$ó$n de Poisson $($ii$)N$ tiene una distribuci$ó$n binomial negativa. $27\mathrm{.}12.$ Supongamos que la distribuci$ó$n de$S_1$ es Poisson compuesto, dado por$\lambda$ y$P_1(x),$ y que la distribuci$ó$n de$S_2$ es un binomio negativo compuesto, dado porr,$p$ conq$=1-p,$ y$P_2(x).$ Muestra esa$S_1$ y$S_2$ tener la misma distribuci$ó$n siempre que$\lambda =-rlogp$ y$P_1(x)=\frac{{\displaystyle \sum _1^{\infty }}(\frac{q^k}{k})p_2^{**}(x)}{-logp}$ Ejercicios $[$Sugerencia: muestre la igualdad de las mgf$.]$ Tenga en cuenta que, en el sentido de este ejercicio, toda distribuci$ó$n binomial negativa compuesta puede considerarse como Poisson compuesta.