Resuelto 2. Utilice las propiedades conocidas de los

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Pregunta: 2. Utilice las propiedades conocidas de los operadores de creación a† y de aniquilación a del oscilador armónico para demostrar que el producto de incertidumbres para el estado base del oscilador es (Δx)0(Δp)0=ℏ/2. Sugerencia: a^=2ℏmωx^+i2mωℏ1p^;a^†=2ℏmωx^−i2mωℏ1p^.

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Solución
Paso 1
We have
$\begin{matrix} \begin{aligned} \hat{a} & = \sqrt{\frac{m ω}{2 \overset{―}{h}}} \hat{x} + i \sqrt{\frac{1}{2 m ω \overset{―}{h}}} \hat{p} \\ {\hat{a}}^{+} & = \sqrt{\frac{m ω}{2 \overset{―}{h}}} \hat{x} - i \sqrt{\frac{1}{2 m ω \overset{―}{h}}} \hat{p} \end{aligned} \end{matrix}$
Adding $\hat{a}$ and ${\hat{a}}^{+}$ we get
$\begin{matrix} \begin{aligned} \hat{a} + {\hat{a}}^{+} & = 2 \sqrt{\frac{m ω}{2 \overset{―}{h}}} \hat{x} \\ \hat{x} & = \sqrt{\frac{\overset{―}{h}}{2 m ω}} ({\hat{a}}^{+} + \hat{a}) \end{aligned} \end{matrix}$
Now subtracting ${\hat{a}}^{+}$ from $\hat{a}$ we get
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2. Utilice las propiedades conocidas de los operadores de creación

a^{†}

y de aniquilación a del oscilador armónico para demostrar que el producto de incertidumbres para el estado base del oscilador es

(Δ x)_{0} (Δ p)_{0} = ℏ/2

. Sugerencia:

\overset{a}{^} = \frac{mω}{2ℏ} \overset{x}{^} + i \frac{1}{2 mω ℏ} \overset{p}{^}; \overset{a}{^}^{†} = \frac{mω}{2ℏ} \overset{x}{^} - i \frac{1}{2 mω ℏ} \overset{p}{^}