Pregunta: 2. \\( \\Sigma \\) es el conjunto de superficies \\( S \\) de la forma \\( z=f(x, y) \\) con \\( (x, y) \\in D \\) el disco unitario cerrado con centro en el origen, tales que \\( f \\) se anula en \\( \\partial D, f(0,0)=1, f \\) continua en \\( D \\) y continuamente diferenciable en casi todo punto de \\( D^{1} \\), y \\( S \\) orientable en casi todo

2. \\( \\Sigma \\) es el conjunto de superficies \\( S \\) de la forma \\( z=f(x, y) \\) con \\( (x, y) \\in D \\) el disco unitario cerrado con centro en el origen, tales que \\( f \\) se anula en \\( \\partial D, f(0,0)=1, f \\) continua en \\( D \\) y continuamente diferenciable en casi todo punto de \\( D^{1} \\), y \\( S \\) orientable en casi todo punto \\( { }^{2} \\). Demuestre que el problema de encontrar una superficie en \\( \\Sigma \\) con área mínima no tiene solución.\r\n\r\nHint: primero demuestre que si \\( S \\) es una superficie \\( z=f(x, y) \\) en \\( \\Sigma \\), entonces \\( A(S) \\geq \\pi \\). Sea \\( f_{\\alpha}(r)=0 \\) si \\( \\alpha \\leq r \\leq 1 \\) y \\( f_{\\alpha}(r)=1-r / \\alpha \\) si \\( 0 \\leq r \\leq \\alpha \\). Considere \\( S_{\\alpha} \\) la superficie que se obtiene girando alrededor del eje vertical la gráfica de \\( f_{\\alpha} \\). Argumente que \\( f_{\\alpha} \\in \\Sigma \\), y que \\( A\\left(S_{\\alpha}\\right) \\rightarrow \\pi \\) cuando \\( \\alpha \\rightarrow 0 \\). ¿Por qué esto demuestra lo que se pidió?