Resuelto 2. Sean (G,⋅) y (H,∗) dos grupos y sea f∈Hom(G,H).

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Pregunta: 2. Sean (G,⋅) y (H,∗) dos grupos y sea f∈Hom(G,H). Muestre lo siguiente: i. (6 ptos.) f es monomorfismo si y sólo si ker(f)={eG}. ii. (5 ptos.) ker(f)◃G. iii. (5 ptos.) Si f es un epimorfismo, entonces Im(f)◃H.

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Hay 2 pasos para resolver este problema.
Solución
Paso 1
$(i) (\Rightarrow)$ Assume $f$ is a monomorphism. Then, $\forall x, y \in G, f (x) = f (y) \Rightarrow x = y$ .
Let $x \in k e r (f)$ . Then, $f (x) = e_{H} = f (e_{G}) \Rightarrow x = e_{G} \Rightarrow k e r (f) = {e_{G}}$ .

$(\Leftarrow)$ Suppose $k e r (f) = {e_{G}}$ . Let $x, y \in G$ be such that $f (x) = f (y)$ .
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2. Sean

(G, \cdot)

(H, *)

dos grupos y sea

f \in Hom (G, H)

. Muestre lo siguiente: i. (6 ptos.)

f

es monomorfismo si y sólo si

ker (f) = {e_{G}}

. ii. (5 ptos.)

ker (f) ◃ G

. iii. (5 ptos.) Si

f

es un epimorfismo, entonces

Im (f) ◃ H