Pregunta: 2) Consideremos una partícula restringida a moverse por una circunferencia de radio unidad situada en el plano xy, de forma que su energía es puramente cinética y su posición queda completamente caracterizada por el ángulo ϕ que forma el radiovector con el eje x. Una base del espacio de estados viene dada por los vectores ∣m⟩, con m entero (m∈Z), cuya

2) Consideremos una partícula restringida a moverse por una circunferencia de radio unidad situada en el plano $xy$, de forma que su energía es puramente cinética y su posición queda completamente caracterizada por el ángulo $\varphi$ que forma el radiovector con el eje $x$. Una base del espacio de estados viene dada por los vectores $|m⟩$, con $m$ entero $(m\in \mathcal{Z})$, cuya función de onda asociada es ${\Phi }_m(\varphi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{im\varphi },$ es decir, por las posibles ondas estacionarias que cumplen condiciones de contorno periódicas en la circunferencia. (a) Sea ahora un sistema de 2 partículas de este tipo, en estados caracterizados por los enteros $m_1\ne m_2$. Determina la función de onda del sistema para los casos en que las partículas sean: distinguibles, ${\Phi }_0\left({\varphi }_1,{\varphi }_2\right)$; bosones idénticos, ${\Phi }_B\left({\varphi }_1,{\varphi }_2\right)$; fermiones idénticos, ${\Phi }_F\left({\varphi }_1,{\varphi }_2\right)$. (b) Halla las correspondientes densidades de probabilidad de presencia en los mismos tres casos: ${\rho }_0\left({\varphi }_1,{\varphi }_2\right);{\rho }_B\left({\varphi }_1,{\varphi }_2\right);{\rho }_F\left({\varphi }_1,{\varphi }_2\right)$. Demuestra que dichas distribuciones no dependen de la "coordenada centro de masas" $u={\varphi }_1+{\varphi }_2$, sino sólo de la "coordenada relativa" $v={\varphi }_1-{\varphi }_2$, y que además no dependen del signo de $v$ para partículas idénticas. ¿Por qué? Comprueba razonando (sin necesidad de una integración explícita) que las tres distribuciones están normalizadas a la unidad, como deben. (c) Las densidades de probabilidad dependen también del número entero $\Delta m=m_1-$ $m_2$. Representa esquemáticamente las tres densidades como función de $v={\varphi }_1-{\varphi }_2$ para valores de $\Delta m=1,2,3$, y discute cualitativamente qué ocurre cuando $\Delta m$ toma un valor muy grande. Comprobarás que hay ciertos valores de $v$ (es decir, de la separación entre las dos partículas) que son especialmente favorables/desfavorables para bosones/fermiones idénticos, y que el número de esos valores especiales de $v$ crece con $\Delta m$. Esto debe ayudarte a comprender que las denominadas "repulsión de Fermi" y "atracció de Bose" no ocurren en el espacio físico tridimensional (salvo a distancias muy cortas) sino en el espacio de estados de Dirac. Razona tu respuesta. (d) A partir de este momento, será más conveniente trabajar en términos de las variables "normales" $(u,v)$, escribiendo por ejemplo ${\rho }_0(u,v)$, etc. Restringiéndonos sin pérdida de generalidad al caso $v\ge 0\left({\varphi }_1\ge {\varphi }_2\right)$, con lo que $v\in [0,2\pi )$. integra las tres densidades de probabilidad sobre la variable $u$ para así obtener las densidades de probabilidad reducidas (o trazas parciales) de la coordenada relativa $v:{\rho }_0(v);{\rho }_B(v):{\rho }_F(v)$ (AYUDA: date cuenta, a la hora de integrar, de que el dominio de posibles valores de $u$ depende de $v$ ). Comprueba que siguen normalizadas (pregunta sutil: ¿por qué?). (e) Como medida de la distancia entre las dos partículas, definamos una variable $D\in [0,\pi ]$ : $D=v\text{ si }v\le \pi D=2\pi -v\text{ si }v\ge \pi$ que reconoce que $D=\pi$ es la máxima separación angular en una circunferencia. La distribución de probabilidad de la variable $D$ viene dada por $\rho (D)=\rho (v)+\rho (2\pi -v)$. Calcula el valor medio de la distancia entre las dos partículas en cada uno de los tres casos. Verás que el efecto de la indistinguibilidad cuántica no es un aumento sistemático de $<D>$ en el caso de fermiones o una disminución sistemática en el caso de bosones, sino algo más complicado. Discute los resultados obtenidos, en particular la dependencia de $⟨D⟩$ con $\Delta m$. DATO: $\int x\cos (ax)dx=\frac{\cos (ax)}{a^2}+\frac{x\sin (ax)}{a}$